无线传感器网络的覆盖与连通性综述

无线传感器网络的集成连通性与覆盖技术

1. 引言

无线传感器网络（WSNs）近年来受到了广泛关注。现代传感技术与无线通信技术的发展极大地推动了具有感知和无线通信能力的高效能微型传感器节点的发展，进一步促进了无线传感器网络的发展。

影响高效无线传感器网络部署的一个重要因素是开发最优的节点部署/区域覆盖策略以及高效的连接性控制技术。一旦节点被部署在监测区域中，它们就需要从感兴趣区域感知/检测期望事件/数据。为了收集所有期望的数据，保持所需的覆盖度至关重要。

在无线传感器网络中，以确保监测区域中的每个点都能被覆盖。此外，无线传感器网络维持其连接性也同样重要。连接性可以定义为节点到达数据汇聚点的能力。如果无线传感器网络失去连接性，聚合数据/检测到的信息将无法转发到指定数据中心。因此，连接性是在无线传感器网络中需要考虑的另一个关键问题。

在本综述中，我们研究了无线传感器网络的网络连通性与覆盖问题。本综述其余部分的组织如下：在第2节中，首先介绍覆盖与连接性的概念；第3节讨论考虑无线传感器网络及其他相关研究领域中连通性问题的各种技术，并进一步描述若干容错/抗故障技术；在第4节中，我们总结了在集成框架下针对连通性与覆盖联合问题的多种技术；在第5节中，在关于通信范围的不同假设下，我们介绍了与节点部署/区域覆盖策略相关的现有研究工作；最后，在第6节中，我们对本综述进行总结，并指出该领域尚未解决的问题。

2. 预备知识

针对无线传感器网络中连接性与覆盖问题的研究工作基于大量理论和假设。连接性与覆盖的基本概念在理解该问题中起着关键作用。本节中，我们介绍连接性与覆盖的概念、传感器节点的分类、感知模型以及通信模型。

连接性与覆盖

部署无线传感器网络的目标是使监测区域处于严密监控之下，并将获取的信息转发到指定的网关/数据汇聚点。因此，覆盖和连接性是保持无线传感器网络功能的充分条件。

由于无线传感器网络汇聚的数据必须转发到处理中心，因此连接性对于无线传感器网络至关重要。为了分析无线传感器网络的连接性问题，需要考虑“k‐连通性”这一概念，即k‐连通性意味着网络在最多移除k‐1个节点后仍能保持其连接性。

除了连接性之外，覆盖是设计无线传感器网络需要理解的另一个基本问题。覆盖通常被视为可衡量的指标，用于评估对监测区域的监控程度。根据不同应用的具体需求，可以通过不同的方式来度量覆盖。

节点的移动性

传感器节点是构成无线传感器网络的基本单元，体积小，内置感知和无线通信模型。通常，传感器节点可根据其移动性进行分类，即静态节点和移动节点。除了上述基本功能外，动态节点的移动性受限于其电池的有限能量。

感知模型

基于观察到的物理现象和实验结果，有两种常用模型被广泛用于理论上分析无线传感器网络的性能。第一种是 the binary disc model，它是一种布尔模型，其中在传感器的感知范围 Rs 内检测到事件的概率为1，否则为0。然而，二元圆盘模型过于简单，难以捕捉现实世界中复杂而真实的特点。为了克服这一缺陷，通过考虑传感器检测中的不确定性度量，提出了一种更为现实的模型 the probabilistic sensing model。

通信模型

与感知模型类似，多种通信模型也被提出以数学方式建模无线通信信道的复杂特性。最简单的模型是 the protocol model，其中两个节点当且仅当位于彼此的通信范围 Rc 内时才能相互通信。进一步地，为了捕捉无线信道其他破坏性的物理特性（如多径衰落和干扰等），而不仅仅是传输距离的衰减效应，文献[19]中的作者建立了融合这些效应的无线信道模型，并将该模型称为 the Physical model。基于图论，提出了 graph-based model，其中将节点视为图中的顶点，任意两个节点之间的通信链路被视为连接两个顶点的边。

3. 无线传感器网络中的连接性及相关问题

如前所述，连接性对无线传感器网络至关重要。为了确保可靠的数据传输，必须考虑全连通网络。因此，一个研究方向是寻找能够使完全连通性概率接近于1的临界条件。这些条件基本上是基于节点密集部署得出的。

在[18]中，作者考虑了一个单位圆盘区域内的无线自组织网络，其中 n 节点均匀分布。对于给定的通信范围 πR²c = log n + c(n)/n，作者得出结论：当且仅当 c(n) → ∞ 时，网络是渐近连通的。

基于这一结果，同一作者在[19]中指出，保持连通性的 Rc 的临界值为 √(log n)/(πn)。此外，在类似假设下，文献[50]中的作者表明，每个节点应连接 Θ(log n) 个最近邻以维持网络连通性。网络渐近断连和渐近连通的临界条件分别为 0.074 log n 和 5.1774 log n。进一步地，通过考虑确定性布置的不可靠节点，文献[41]指出，在单位正方形区域中，系统实现所需连接性和覆盖的充分必要条件是 R²c p(n) ∼ log n/n，其中 p(n) 是节点处于激活状态的概率。

由于无线通信具有不稳定的特性，无线传感器网络中的节点/链路故障无法避免。这些节点的故障或异常行为会给邻近节点带来额外负担，甚至可能导致它们失效，如果由此产生的能量消耗超过给定阈值的话。如果这种情况递归发生，就可能引发级联故障。针对这一问题，已有许多研究工作提出应对方法，以改善无线传感器网络的连接性。我们将在本节的后续部分综述这些相关研究工作。

3.1 节点故障的理论分析

总体而言，针对链路与节点故障恢复的研究工作也可被视为能够消除或减轻级联故障影响的工作。鉴于链路和节点故障的不可避免性及其带来的不利后果，已有若干研究致力于探讨级联故障的特性，特别是由节点（组件）故障引发的级联故障。

我们将这些研究工作总结为三个主要领域：

1) 关于不同网络拓扑生存能力的研究 。在[3]中，作者测试了遵循指数分布（Erdo¨s −R´enyi模型）和幂律分布（无标度模型）的网络拓扑的韧性，这两种分布分别代表同质网络和异质网络。基于所提出的理论结果，作者得出结论：在系统中少数节点遭受攻击时，两种被测试的网络均会分裂成多个不连通的小簇。在随机故障情况下，无标度网络比指数网络更具鲁棒性。根据这些结论，显然在设计无线传感器网络时，网络拓扑也必须被视为一个关键因素。

2) 针对不同类型实际网络（如电网、交通网络和无线传感器网络）中级联故障的数学建模 。在[25]中，作者设计了一种基于局部负载分布的复杂网络级联故障数学模型；该模型可轻松应用于无线传感器网络。作为改进，在[32]中，作者设计了一种“概率性”区域故障模型，以评估给定无线网络的可靠性。

3) 关于相互依赖网络中级联故障的研究 。在[12]中，作者指出级联故障经常发生在混合的电力网络和无线网络中，即电力网络为无线传感器网络系统供电，而无线传感器网络则传输电力网络所需的关键监控数据和控制消息。因此，无线节点故障可能由发电站断电引发，进而导致控制消息无法传输，最终可能导致更多连接到电网的发电站失去功能。根据所提供的仿真结果，作者得出结论：当系统中仅有小部分节点失去功能时，就可能引发整个网络的故障。由于这些结果来自某些通用类型的网络，基于无线传感器网络的网络也被预期具有类似的行为。

3.2 连接性与拓扑控制

一些方法已被提出，通过精心设计无线网络的拓扑结构来提高系统可靠性。论文[29]研究了无线自组织网络的容错部署问题。基于预设 Rc，作者提出了一种方案来计算给定网络为k‐连通的概率。

基于密集部署，在[4]中使用冗余传感器节点来应对随机工作节点故障。沿用部署冗余节点的类似思路，在[15]中提出了一种分布式算法。通过在给定网络中部署计算所得的必要数量的额外节点，可实现容错拓扑控制的目标。然而，由于有限空间和成本限制，在已部署的无线传感器网络中添加冗余节点并不总是可行的。另一种容错拓扑控制算法在[27]中被提出，其中每个节点计算一个生成子图。如果一对顶点不是k‐连通的，则会在这两个顶点之间添加一条额外的边。作者进一步证明了所得到的网络是k‐连通的。

通过考虑节点的移动性，[40]作者展示了抗移动性拓扑控制协议。作者将拓扑控制协议分为两类：1）每个节点基于自身对其邻居的知识来构建和维护拓扑，例如[27]。2）不在本地维护拓扑，而是根据给定的标准，节点仅维持位于特定邻近区域内的一定数量的邻居，例如[7]。第一类协议比第二类更复杂，因为每当原始拓扑图中出现链路/节点缺失时，就会触发重构过程，否则拓扑可能会断连。因此，即使第一类算法在静态网络中是高效的，它们也不适用于移动场景。对于静态无线网络，文献[38]提出了一种分布式算法，以在最小化可能功耗的同时保持网络的 k‐连通性，其中每个节点通过收集其邻居的位置和最大功率信息，局部调整其传输功率等级，从而在其邻近区域内与节点形成k条不相交路径。

4. 无线传感器网络中的集成覆盖与连通性问题

在本节中，我们将总结关于无线传感器网络中覆盖与连通性集成问题的相关研究。由于成本约束，针对该集成问题的研究工作目标是利用最少数量的节点实现期望的覆盖度，同时维持所需的系统连通性[49]。在本节的以下部分，我们首先总结那些分析感知范围 Rs 与通信范围 Rc 不同比率影响的研究工作。然后，我们展示关于实现连通性与覆盖的临界条件的研究工作。最后，我们综述无线传感器网络中覆盖与连通性集成的各类方法。

4.1 Rs 与 Rc 的关系

找到感知范围 Rs 与通信范围 Rc 之间的关系是设计节点部署策略的基础。如图1所示，如果 Rc < Rs，即使系统被最少数量的传感器节点完全覆盖，系统也会失去连接性。

在[49]中，作者首次证明了1‐覆盖蕴含1‐连通性的充分条件为 Rc ≥ 2Rs。基于这一结果，在设计无线传感器网络系统时，我们可以重点关注节点部署策略，并通过假设 Rc ≥ 2Rs 来消除连接性问题。同时，文献[52]中的作者分别推导出了相同的结果。

此外，在[44]中，作者提出了实现k‐覆盖和k‐连通性的三个条件，如下所示：

1）给定一个连通的网络图，并假设 Rc ≥ 2Rs，如果在节点调度后覆盖完全保留，则生成网络的连通性仍然得以保持。

2）给定一个连通的网络图，并假设 Rc < 2Rs，如果在节点调度后覆盖完全保留，则生成网络仍有可能失去连接性。

3）给定一个k‐连通的网络图，并假设 Rc ≥ 2Rs，如果在节点调度后k‐覆盖完全保留，则生成网络的k‐连通性必定得以保持。该研究对于需要更高程度覆盖和连接性的应用具有重要意义。

4.2 基于 Rs 和 Rc 比率的部署策略设计

基于 Rc/Rs 的不同取值假设，许多研究工作致力于设计节点部署策略，在实现期望性能的同时最小化部署节点的数量。在[48]中，作者基于 Rc ≤ √3Rs 和 Rc > √3Rs 的假设，设计了在二维区域中的不同传感器部署方法。此外，在格点型无线传感器网络中，按照给定的部署模式，传感器节点以确定性方式部署到目标位置。为了在无线传感器网络中同时实现完全感知覆盖和完全连接性，在[47]中，作者得出结论：当满足条件 Rs/Rc ≤ 0.6580、0.6580 < Rs/Rc ≤ 0.8772、Rs/Rc > 0.8772 时，三角形模式、方形模式和六边形模式分别为最优部署模式。在[17]中，作者采用这三种模式来实现m‐连通无线传感器网络中的k‐覆盖。在[39]中，作者为 4 ≤ k ≤ 9 提供了最优k‐覆盖部署模式。

在三维空间中，基于开尔文猜想、开普勒猜想和沃罗诺伊镶嵌，在[2] Alam 和 Haas 证明截断八面体单元是实现最佳覆盖和连接性的最佳部署模式（相比于其他多种模式，如立方体、六棱柱和菱形十二面体），如果 Rc /Rs ≥ 1.7889。而如果 1.4142 < Rc /Rs < 1.7889，则六棱柱和菱形十二面体是最优模式。

此外，Zhang et al.[51]设计了一组节点部署模式以实现k‐连通性（1 ≤ k ≤ 4）和全覆盖，并证明了其在不同比率 Rc /Rs 下的规则格点部署模式中的最优性。结果可总结如下：

1) 在三维空间中，如图2所示，实现1‐或2‐连通性及全覆盖的最优模式由以下给出：

$$
Opt_{1,2} =
\begin{cases}
\Lambda_{2-1} & \text{if } \frac{R_c}{R_s} < \frac{4}{3} \
\Lambda_{2-2} & \text{if } \frac{4}{3} \leq \frac{R_c}{R_s} < \frac{12}{\sqrt{9 + 32\sqrt{3}}} \
\Lambda_{2-3} & \text{if } \frac{12}{\sqrt{9 + 32\sqrt{3}}} \leq \frac{R_c}{R_s} < \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{5}} \
\Lambda_{2-4} & \text{if } \frac{R_c}{R_s} \geq \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{5}}
\end{cases}
$$

2) 如图3所示，在三维空间中实现3‐或4‐连通性及全覆盖的规则格点模式中的最优模式由：

$$
Opt_{3,4} =
\begin{cases}
\Lambda_{4-1} & \text{if } \frac{R_c}{R_s} < \frac{4}{3} \
\Lambda_{4-2} & \text{if } \frac{4}{3} \leq \frac{R_c}{R_s} < 2\sqrt{32}/\sqrt{3} \
\Lambda_{4-3} & \text{if } 2\sqrt{32}/\sqrt{3} \leq \frac{R_c}{R_s} < \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{5}} \
\Lambda_{4-4} & \text{if } \frac{R_c}{R_s} \geq \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{5}}
\end{cases}
$$

4.3 实现连接性及覆盖的临界条件

通过假设 Rs = Rc，在[37] Philips et al. 基于齐次泊松分布，证明了在一个节点分布在大小为 A 的方形区域内的随机无线网络中连接性和覆盖性的特性。对于给定的节点密度 λ 和任意 ε > 0，监测区域被完全覆盖的概率为,

$$
\lim_{A \to \infty} p_{full} =
\begin{cases}
0 & \text{if } R_s = \sqrt{(1 - \varepsilon) \frac{\ln A}{\pi \lambda}} \
1 & \text{if } R_s = \sqrt{(1 + \varepsilon) \frac{\ln A}{\pi \lambda}}
\end{cases}
$$

在相同假设下，如果 $ R_c = \sqrt{(1 - \varepsilon) \frac{A}{\pi \lambda}} $，则存在未连接节点的概率随着 $ A \to \infty $ 趋近于1。

从上述结果可以看出，节点密度 λ 也是影响系统连接性和覆盖的一个因素。根据渗流理论[36]，许多研究工作自发地提出以寻找确保系统连接性和覆盖的临界密度。在[24]中，作者通过数值方法表明临界密度为 $ \lambda_c = 1.4365 / R_c^2 $。基于 SINR 通信模型[19]，在[43]中，作者指出在一个区域 A 内，保持网络连通性的临界节点密度 $ \lambda_c $ 为 $ \lambda_c = 2 / (\sqrt{3} \times [P_t / (N_0 \delta_{min})]^{2/\alpha}) $。在 $ R_c = 2R_s $ 的假设基础上，刘[33]推导出在两种情况下实现覆盖与连接性的临界节点数：

1) 对于长度为 L 且有 n 个节点均匀分布的线段，如果对于任意 ε > 0，线性网络保持和失去连接性的条件分别为 $ n = (1 - \varepsilon) \frac{L}{R_c} \log \frac{L}{R_c} $ 和 $ n = (1 + \varepsilon) \frac{L}{R_c} \log \frac{L}{R_c} $。

2) 对于大小为 A 的区域，连通性覆盖的充分条件是 $ n = (1 + \varepsilon)(\sqrt{A}/V + 2)\sqrt{A}/R_c \ln(\sqrt{A}/R_c) \sim A $。

除了上述专注于二维区域连通性的研究外，Ammari 和 Das 在[5]中指出，三维空间中实现期望的 k‐覆盖的临界密度为 $ \lambda_c = k / (0.422 r_0^3) $，其中 k 是期望的覆盖度，$ k \geq 4 $，$ r_0 = R_s / 1.066 $。

4.4 连接性与覆盖的集成

如前所述，无线传感器网络的主要目标之一是尽可能长时间地实现对监测区域的全覆盖。许多任务（例如目标跟踪或边界监视）要求在任何时候都对监测区域实现全覆盖。在这种情况下，如何在实现全覆盖的同时保证无线传感器网络的连接性至关重要。

针对这一集成问题，已有许多方法被提出。

基于[21]中提出的 perimeter coverage 概念，并假设 $ R_c \geq 2R_s $，Huang 在[23]中推导出了一种用于局部判定覆盖‐连通性的判据：在二维平面上，若没有节点位于同一位置，则整个区域是 k 重覆盖的当且仅当网络中的每个传感器都实现了 k 重周界覆盖。

在密集网络中，刘 et al.[31] 提出了一种无需使用位置信息的分布式节点调度方案。根据对检测概率的理论分析，系统中的每个节点随机选择一个子集加入，且每个子集能够保持感知区域所需的感知覆盖强度 t。然后，基于最小跳数路由方案和广播控制信息，作者采用随机调度实现感知覆盖，并在必要时开启额外的传感器节点以维持网络连通性。

此外，许多研究利用传感器的移动性来提高覆盖与连通性的质量。在[26] Le et al. 中设计了一种基于环境学习的现象监测系统，其中传感器节点可以根据对环境迭代学习获得的信息，移动到最优位置。由于节点移动会消耗传感器节点中受限能量的很大一部分，从而进一步缩短无线传感器网络的生命周期。因此，“如何在实现无线传感器网络中期望的覆盖与连通性的同时，最小化移动节点的移动”这一问题亟需解决。在[30]中，作者首次针对这一问题的挑战进行了研究。

在[5]中，作者分析了三维空间中的覆盖和网络连通性。本文中，作者还定义了一个给定图 G 的网络连通性 $ \kappa(G) $，并证明了 $ 12.024\alpha^3 k \leq \kappa(G) \leq R_c V^{2/3} k / (0.422 r_0^3) $，其中 $ \alpha = R_c / R_s $ 和 $ k \geq 4 $。本文的问题在于，该分析是基于三维空间中的勒洛四面体进行的，作者混淆了测地距离与欧几里得距离。特别是，$ R_s $ 和 $ R_c $ 是以欧几里得距离来度量的。此外，边界条件的计算是在节点故障的理想假设下完成的，作者未考虑节点故障的随机性。

5. 无线传感器网络中的覆盖

如前所述，无线传感器网络被用于监测监测区域。实现对监测区域的期望覆盖是达成该目标的充分条件。因此，覆盖问题吸引了大量的研究关注，并提出了许多方法。现有方法有多种分类标准。例如，根据不同的部署目标，覆盖问题可分为三类，即 full/blanket coverage、path/barrier coverage 和 targets coverage。与基于上述分类对相关研究进行归类的其他工作不同，我们基于无线传感器网络部署的位置，即二维和三维中的覆盖，来调研现有的关于覆盖/节点部署问题的研究工作。此外，在每一部分中，我们根据已发表方法所采用的技术对其进行分类。

5.1 二维中的覆盖

在本节中，我们对为二维覆盖提出的各种研究方法进行了综述。

5.1.1 k-覆盖

如前所述，覆盖通常被认为是无线传感器网络中服务质量的评估指标。为了衡量覆盖性能，引入了 k-coverage 的概念，即监测区域中的每个点至少被 k 个传感器覆盖，其中 $ k \geq 1 $。

无需检查每个子图（即由不同感知圆盘划分的）在 $ O(n^2) $ 下的覆盖情况，本文提出了一种基于周界覆盖概念以及实现连通性与覆盖性的充分条件（即 $ R_c \geq 2R_s $）的 $ O(nd \log d) $ 算法[21]，该算法位于[49]中。所提出的方案通过判断每个传感器节点是否满足 k-perimeter-covered，来确定监测区域的 k‐覆盖。每个传感器节点可利用计算复杂度为 $ O(d \log d) $ 的方法本地判断自身是否实现 k 重周界覆盖。随后，作者证明了若每个传感器的周界均实现了 k 重覆盖，则整个区域即为 k 重覆盖。

5.1.2 计算几何

最著名的二维覆盖问题之一是艺术馆问题。该问题的目标是确保房间中的任意一点都能被至少一个摄像头/守卫监控到。通常，该问题通过计算几何理论来解决。由于艺术馆问题的目标与覆盖问题相同，因此可以采用艺术馆问题的解决方案来解决二维覆盖问题。接下来，我们调研基于计算几何在二维平面上的现有方法。

Voronoi diagram ：沃罗诺伊图是基于计算几何理论设计的节点部署方法所采用的最重要模型之一。在无线传感器网络中，Voronoi 单元是监测区域内由一个传感器覆盖的凸多边形，它由所有将该传感器视为系统中最邻近传感器的点组成，如图4所示（即以灰色线条绘制的多边形）。

在[42]中，基于沃罗诺伊图，作者提出了一种 $ O(n \log n + nk^2) $ 算法来确定无线传感器网络的 k‐覆盖，优于[21]中提出的 $ O(nd \log d) $。由于所提出的方案是集式中的，其可扩展性有限，可能无法实现在大型无线传感器网络中。作为改进，基于分布式/局部 Voronoi 图构建算法，文献[9]的作者提出了一种无需全局位置信息的区域覆盖算法和完全赞助覆盖算法。利用定向天线技术，每个节点通过定位其所有一跳邻居来判断其 Voronoi 单元是否被完全覆盖。此外，根据覆盖状态，完全赞助的冗余传感器可切换至非工作状态以节省能量。

除了静态无线传感器网络外，一些研究工作还考虑了传感器节点的移动性。在[46]中，作者采用沃罗诺伊图来检测系统中的覆盖空洞，并进一步提出了三种移动节点部署方案，即 VEC（基于向量）协议、基于维诺的算法（VOR）以及 Minimax 算法。更具体地说，基于所谓的虚拟力（即根据无线传感器网络中每对节点之间的平均距离计算得出），如果两个相邻节点中某一个节点的 Voronoi 单元未被完全覆盖，则相应节点将被推离另一个节点。

在上述工作中，作者考虑了具有预设节点数量的随机网络。然而在现实中，大多数随机网络都是密集部署的。系统中存在冗余传感器节点。如前所述，由于无线传感器网络中的受限能量，应识别出冗余节点并将其切换至非活动状态。因此，为了在保持网络覆盖的同时提高能量效率，Cˇarbunar et.al[14] 研究了在无线传感器网络中检测和消除冗余传感器的问题。

到目前为止，我们可以看到沃罗诺伊图可以分别用于解决移动节点部署和节能系统设计问题。此外，一些相关工作致力于研究集成化问题。由于节点寿命受限于有限的电池能量，节点的移动会因消耗大量能量而显著降低节点寿命。因此，前述假设由移动节点组成的无线传感器网络的工作可能无法在实际系统中采用。在这种情况下，由静态和移动节点组成的无线传感器网络是一个更实际的选择。相应地，基于沃罗诺伊图，提出了竞标协议[45]。其基本思想是静态节点检测覆盖空洞，并根据空洞的大小计算一个竞标价格。相应地，移动节点将移向价格最高的空洞。

德劳内三角剖分 ：德劳内三角剖分是另一种在许多研究工作中被广泛采用的著名图。可以通过连接两个节点来从沃罗诺伊图轻松绘制出德劳内三角剖分，这两个节点之间的边与对应的 Voronoi 单元的边界[35]相垂直。如[9]所述，大多数现有的分布式算法无法高效地构造沃罗诺伊图或德劳内三角剖分，例如，论文[28]提出了一种基于德劳内三角剖分的分布式最佳覆盖算法，其运行时间为 $ O(n \log n) $，与[34]中提出的集中式算法具有相同的复杂度。

除了全覆盖问题外，计算几何还可用于解决栅栏/路径覆盖问题。文献[13]中定义了最大漏洞路径和最大支持路径，分别用于建模最差和最佳覆盖路径。根据沃罗诺伊图和德劳内三角剖分的定义可知，Voronoi 单元的边界包含了距离传感器节点最远的所有点；而相比之下，德劳内三角形的边则包含了距离传感器节点最近的所有点。基于此，作者提出了一种启发式方法：通过连接相应沃罗诺伊图的边界来构建最大漏洞路径，而最大支持路径则是由给定的德劳内三角形的边构成。

5.1.3 二维覆盖中的其他主题

虚拟力算法 ：回顾随机覆盖和节点移动性的定义。为应对这一综合问题，提出了虚拟力算法（VFA），该算法基于[20]中引入的势场概念，旨在改善初始部署下随机网络的覆盖。如前所述，在[46]中基于虚拟力提出了三种移动节点部署方案，即 VEC、VOR 和最小最大算法。

能量高效算法 ：传感器节点由具有有限能量的内置电池供电，无线传感器网络寿命直接受系统中节点寿命的影响。因此，能量约束是无线传感器网络中另一个需要解决的关键问题。因此，在设计无线传感器网络系统时，节能非常重要。为应对这一问题，已有许多研究工作被提出。基于对能量消耗的分析，Boukerche et al.[10]提出了一种针对无线传感器网络的高效能量与覆盖协议。在[11]中，该作者进一步基于局部信息交换研究了最优覆盖保持问题。

能量高效路由方案设计是实现无线传感器网络节能目标的另一种替代方法。通过采用精心设计的路由矩阵，可以找到从传感器节点到指定数据汇聚点的最优能量高效路径。因此，端到端数据传输的总能耗得以降低，从而进一步延长系统寿命，例如[8]。如[35]所总结，若不聚合冗余信息，精心设计的数据收集技术也能节约能量。此外，聚类算法是节能设计的另一种替代方案，该方法将整个系统划分为多个具有保证覆盖的簇，并以交替方式工作[1]。

不规则感知范围 ：如前所述，感知范围受多种因素影响。由于现有模型均假设感知区域为圆形，即使是概率模型也无法完全捕捉现实世界的所有特征，例如干扰、障碍物和天气条件等。因此，应考虑不规则感知范围，以接近更真实的感知模型。在[16]中，作者首次提出了一种基于改进的 α‐shape 算法的不规则感知范围检测模型。

5.2 三维覆盖

大多数现有研究工作集中在二维平面的覆盖问题上。相比三维空间，为二维平面开发节点部署策略要容易得多。然而，二维覆盖中的假设可能无法完全反映无线传感器网络在实际应用中的部署需求。因此，基于更贴近现实的假设，需要考虑三维覆盖问题。

在[22]中，作者将其关于 k‐覆盖的研究从二维平面扩展到三维空间。在所提出的工作中，基于 geodesic distance 和条件 $ R_c \geq 2R_s $，提出了一种 $ O(d^2 \log d) $ 算法来确定感知球体的 k‐覆盖。作者证明了当所有感知球体均具有 k‐覆盖时，整个空间即实现了 k 重覆盖。

Ammari 和 Das 还分析了三维空间中的 k‐覆盖与连接性。基于勒洛四面体，作者推导出了保持连接性与覆盖的临界条件 Rs 和 Rc。但是，如前所述，作者混淆了测地距离与欧几里得距离，并且未考虑节点故障的随机性。其他一些相关研究已在第4节.3中进行了总结。

6. 开放问题与结论

在结束本综述之前，我们介绍一些现实世界中的开放性问题。

6.1 开放性问题

本文综述了无线传感器网络中连接性与覆盖问题的现有研究工作。其中大多数研究基于无线信道的理想假设或条件。然而在现实中，除了距离之外，许多其他因素也可能影响感知和通信范围，例如真实的地理环境、通信干扰甚至温度。在[6]中，作者研究了温度变化对低功耗无线传感器网络的影响，因为当温度升高时，无线通信链路性能会显著下降。因此，将无线传感器网络的设计从实验室和理论走向实际应用至关重要。

接下来，我们提出一些与无线传感器网络在现实世界中部署相关的开放性问题。

能量收集无线传感器网络 ：如前所述，有限的电池能量是无线传感器网络最关键的限制之一。除了聚类算法和节能设计之外，解决能量短缺问题的另一种潜在方案是使传感器节点能够收集可再生能源，例如风能、太阳能等。在这种情况下，对电池中剩余能量变化过程的分析以及节能调度方案的设计可能是一个很好的研究方向。

现实世界中的覆盖 ：覆盖是无线传感器网络中的一个基本问题。目前，大多数针对此问题的现有研究都是为假设的理想二维平面和三维空间设计的。然而，在现实世界中，目标监测区域的实际地理表面比理论分析中的理想假设要复杂得多。因此，大多数现有方法可能无法在现实中实施。此外，在水下环境中部署传感器网络是另一个有趣的研究方向。该问题的关键在于，水下流体运动需要在水下传感系统设计中予以考虑。

6.2 结论

连接性和覆盖是无线传感器网络中最关键的两个问题，可被视为利用无线传感器网络的充分条件。许多研究工作已被提出以应对这些问题。在本综述中，我们首先简要介绍了连接性和覆盖概念的基本知识。然后，我们总结了针对连通性问题的研究工作，并列出了保持系统连通性的临界条件。由于连通性受节点/链路故障的影响，我们还调研了与抗故障/容错无线传感器网络设计问题相关的研究工作。此外，我们总结了现有针对覆盖与连通性集成问题的方法。基于在保持连通性的同时维持覆盖所提出的条件，我们在最后描述了针对覆盖问题所提出的研究工作。