11、平面图与线段相交图的障碍数及网格障碍表示研究

平面图与线段相交图的障碍数及网格障碍表示研究

在图论和计算几何领域，图的障碍数以及网格障碍表示是重要的研究方向。本文将深入探讨平面图的障碍数、线段相交图的障碍数，以及图的网格障碍表示等相关内容。

平面图的障碍数

对于连通平面图 (G)（顶点数 (n \geq 4)），我们要证明 (pobs(G) \leq n - 3)。这里通过区分 (G) 的 F´ary 图 (F(G)) 的两种情况来进行证明：
1. (F(G)) 无三角形面 ：此时 (m \leq 2n - 4)，所以 (m - n + 1 \leq n - 3)。根据引理 1，可得 (pobs(G) \leq n - 3)。
2. (F(G)) 至少有一个三角形面 ({a, b, c}) ：
- 向 (F(G)) 添加直线边得到三角剖分 (T) 的 F´ary 图。
- 对 (T) 的面进行 2 - 着色 (\chi)，设 (S) 为 (T) 中处于同色面中的边集。由引理 3 可知，(T) 有一个 ((S; a, b, c)) - 凹图 (P(T))。
- 从 (P(T)) 中移除 (E(T) \setminus E(G)) 的边，得到 (G) 的 F´ary 图 (P(G))。
- 将 (P(G)) 的内面集划分为三个子集：
- (I_1)：(P(G)) 中颜色为 1 的三角形内面集。
- (I_2)：(P(G)) 中颜色为 2 的三角形内面集。
- (I_3)：(P(G)) 中的非三角形内面集。
- 因为 (P(T)) 有 (2n - 5) 个内面，且 (I_3)