8、艺术画廊守卫问题的深入探究

艺术画廊守卫问题的深入探究

1. 多边形画廊守卫定理

对于一个具有 $c$ 个凸顶点（$c \geq 3$）且这些顶点分布在 $t$ 条连续凸顶点链中的多边形画廊 $M$，其守卫数最多为 $c + t - 4$。不过，这里暂不给出该定理的详细证明。

2. 雕塑画廊问题与定理 5

接下来重点关注定理 1 的证明，实际上会通过归纳法证明一个更强的结果——定理 5。定理 5 指出：设 $M$ 是一个近似多边形画廊，如果 $\partial M$ 最多能用 $n$ 个守卫守护，那么再额外使用 $4n - 6$ 个守卫就足以守护整个画廊 $M$。
为了运用归纳法来确定守护 $M$ 所需的额外守卫数量，首先要将 $M$ 转化为另一个具有特定结构性质的画廊 $M’$，以便于分析。这通过一个变换算子 $T(\cdot, \cdot)$ 来实现，该算子以近似多边形画廊 $N$ 和守护 $N$ 墙壁的守卫集合 $G$ 为输入，输出另一个近似多边形画廊 $N’$。

3. 变换算子 $T(N, G)$ 的定义

• 重要点的定义 ：设 $U = U(N, G)$ 是 $N$ 中所有未被 $G$ 中任何守卫看到的点的集合。若点 $p$ 满足 $p \in G$ 或 $p \in U$ 或 $p$ 是 $N$ 的割点，则称 $p$ 是（相对于 $N$ 和 $G$ 的）重要点。
• 算子 $T(N, G)$ 的具体规则 ：
  • 设 $N$ 有房间 $N_1, \ldots, N_k$，且 $N$ 由 $P = (p_1,