23、图连通性增强算法与多面体结构研究

图连通性增强算法与多面体结构研究

在图论领域，图的连通性增强问题一直是研究的重点。本文将介绍一种用于解决图的边连通性和顶点连通性增强问题的算法，以及相关的多面体结构研究。

1. EVAP(ℓ,3)问题的算法

对于一个多重图 (G = (V, E))，定义 (P_3(G)) 为顶点对 ({x, y}) 的集合，其中 (x, y \in V) 且 (\kappa_G(x, y) \geq 3)。若 (\kappa(G) \geq 3)，则 (P_3(G) = \binom{V}{2})。

在图 (G) 中，对于子集 (F \subseteq E)，从 (F) 中移除子集 (F’) 并添加相同数量的新边集 (F’‘) 的操作称为 (F) 中的转移，记为 (F’‘/F’)。若该操作不改变图 (G) 中任何顶点 (v) 的度 (c_G(v))，则称为交换。

我们提出了一个多项式时间算法 EV - AUGMENT3 来解决 EVAP(ℓ,3) 问题，以下是该算法的详细步骤：
- 输入 ：无向多重图 (G = (V, E))（(|V| \geq 4)）和整数 (\ell \geq 4)。
- 输出 *：新边集 (F)，使得 (|F| = opt(G)) 且 (G + F) 是 ((\ell, 3)) - 连通的。

步骤 I：添加顶点 (s) 及相关边
添加一个新顶点 (s) 以及一组新边 (F_1)，连接 (s) 和 (V) 中的顶点，使得得到的图 (G_1 = (V \cup {s}, E \cup