6、数学空间与多面体研究：从Paragrassmann空间到Coxeter多面体

数学空间与多面体研究：从Paragrassmann空间到Coxeter多面体

1. Paragrassmann空间的再现核

Paragrassmann空间 $PG_{l,q}$ 是一个非交换代数，属于量子空间的范畴。对于所有 $l \geq 2$ 和所有 $q \in \mathbb{C} \setminus {0}$，该空间在由方程 (3) 定义的内积 $\langle \cdot, \cdot \rangle_w$ 下有唯一的再现核。

值得注意的是，$PG_{l,q}$ 并非希尔伯特空间，但它却存在再现核，这与再现核希尔伯特空间理论的常见预期不同。并且，$PG_{l,q}$ 再现核的存在是由半双线性形式的定义所决定的，与参数 $q$ 无关。

2. Coxeter群相关概念介绍

2.1 常曲率空间中的Coxeter群

考虑常曲率的黎曼空间 $\mathbb{M}^n$，它可以是欧几里得空间 $\mathbb{R}^n$、球面 $\mathbb{S}^{n - 1}$ 或罗巴切夫斯基空间 $\mathbb{L}^n$。设 $C \subset \mathbb{M}^n$ 是有限或局部有限个半空间的交集。若通过对 $C$ 关于其所有 $(n - 1)$ 维面进行反射，再对新得到的多面体重复此操作，最终能对整个空间进行平铺，那么 $C$ 被称为Coxeter域，由这些反射生成的等距变换群被称为反射群或Coxeter群。当 $C$ 是紧致的时，Coxeter群是余紧的，此时 $C$ 是Coxeter多面体。

若 $C$ 是Coxeter域，其相邻两面之间的二面角形式为 $\frac{\pi}{m}$（$m \geq 2$ 为整数），特