30、网络设计与图最小割算法研究

网络设计与图最小割算法研究

多面体相关理论

在网络设计中，多面体的性质对于解决一些问题有着重要的作用。有引理表明，设 $(x^ , y^ )$ 是 $PN(I)$ 的任意一个极点，并且对于所有的 $e \in E$ 都有 $x^ (e) < 1$，那么存在一个层状族 $L \subseteq 2^V$ 和 $A$ 的一个子集 $X$，使得对于 $U \in L$，$\delta(U; E_{x^ })$ 的特征向量是线性无关的，并且 $|E_{x^*}| \leq |L| + |X|$。

定理指出，对于任意的 $I$，多面体 $PN(I)$ 是 $(2, 5)$ - 有界的。证明过程采用反证法，假设所有边 $e \in E_{x^ }$ 满足 $x^ (e) < 1/2$，并且所有顶点 $v \in A$ 满足 $|\delta(v; E_{x^ })| \geq 6$。定义 $L$ 和 $X$ 如上述引理，为 $L$ 和 $X$ 中的元素定义父子关系：对于 $U \in L$ 或 $v \in X$，若存在包含它的 $L$ 中的最小元素，则将其定义为父元素。给 $E_{x^ }$ 中每条边的端点分配一个令牌，定义 $U \in L$ 的共同需求为 $|\delta(U; E_{x^*})|/2 - f(U)$。可以将这些令牌分配给 $L$ 和 $X$ 中的所有元素，使得：
- 有父元素的元素拥有两个令牌；
- 没有父元素的元素至少拥有三个令牌；
- 只有当共同需求等于 $1/2$ 时，元素恰好拥有三个令牌。

前两个条件意味着所有令牌的数量超过 $2(