14、三角形枚举与多项式等价性测试研究

三角形枚举与多项式等价性测试研究

三角形枚举相关参数研究

与退化性无关的参数

在三角形枚举问题中，我们关注与退化性无关的参数。这里主要研究两个参数：到余图（cograph）的距离和团宽度（clique - width）。

余图相关概念

• 余图定义：一个图如果不包含有四个顶点的诱导路径（$P_4$），则称其为余图。
• 到余图的距离研究原因：顶点覆盖数能带来可处理性结果，而直径则不能，到余图的距离介于这两个参数之间。并且，到余图的距离是聚类顶点数的下界。对于给定图$G$，我们可以在线性时间内判断它是否为余图，如果不是则返回一个诱导$P_4$。同时，能在$O(k\cdot(m + n))$时间内计算出一个大小至多为$4k$的集合$K\subseteq V$，使得$G - K$是余图。

团宽度相关概念

团宽度$k$在参数层次结构中低于树宽$\omega$，满足$k\leq2\omega$，且$k$相较于$\omega$可以任意小。同时，团宽度也低于到余图的距离，它处于三角形枚举问题“可处理边界”。

基于不同参数的三角形枚举算法

基于到余图距离的算法

• 引理 ：若在图类$\Pi$上的三角形枚举问题（$\triangle$-Enum）能在$O(x)$时间内解决，那么以到$\Pi$的删除集$K$为参数的$\triangle$-Enum问题可在$O(m\cdot|K| + n + x)$时间内解决。
• 命题