13、三角形枚举的参数化方面

三角形枚举的参数化方面

1. 基础概念

在图论的研究中，三角形枚举（△ - Enum）问题是一个重要的研究方向。我们先介绍一些基础的符号和概念。
- 符号定义 ：设 (G = (V, E)) 是一个无向简单图，其中 (n = |V|) 表示顶点数量，(m = |E|) 表示边的数量，(|G| = n + m)。对于顶点 (v \in V)，(N(v)) 表示其（开放）邻域，(\text{deg}(v) = |N(v)|) 表示顶点 (v) 的度。(G[U]) 表示由顶点子集 (U \subseteq V) 诱导的子图，(G - U = G[V \setminus U])。若 ({x, y, z} \subseteq V) 在图中构成一个三角形，我们称 (T = {x, y, z}) 为该三角形，用 (#T) 表示图中三角形的数量。
- 三角形枚举问题 ：输入为一个无向图 (G)，任务是列出 (G) 中包含的所有三角形。

参数化复杂度是研究问题的一种有效方法。对于一个语言 (L \subseteq \Sigma^ \times \mathbb{N})，其中 ((x, k) \in \Sigma^ \times \mathbb{N}) 表示 (L) 的一个实例，(k) 是参数。若存在一个算法，在输入 ((x, k)) 时，能在 (f(k) \cdot |x|^{O(1)}) 时间内判定 ((x, k) \in L)，其中 (f) 是仅依赖于 (k) 的可计算函数，(|x|) 表示 (x) 的大小，则称 (L) 是固定参数可处理的（FPT）。我们称运行时间为 (f(k) \cdot |x|