33、多目标优化中的帕累托前沿生成与表示方法

多目标优化中的帕累托前沿生成与表示方法

1. 概述

多目标优化在工程设计、管理以及决策等领域都具有重要作用。之前已经介绍过一些获取帕累托解的方法，如加权求和法、折衷规划法、目标规划法和物理规划法等。本文将介绍一些新的方法，这些方法旨在设计空间中生成均匀分布的帕累托点，以捕捉整个帕累托前沿。接下来将依次介绍所需的数学预备知识、边界法线相交（NBI）方法、归一化法线约束（NC）方法、帕累托过滤概念，并给出数值示例。

2. 数学预备知识

多目标优化问题的一般形式可定义为问题P1：
[
\begin{cases}
\min_{\mathbf{x}} \boldsymbol{\mu}(\mathbf{x}) = [\mu_1(\mathbf{x}), \mu_2(\mathbf{x}), \cdots, \mu_n(\mathbf{x})]^T \
\text{s.t.} \quad g_j(\mathbf{x}) \leq 0, \quad j = 1, 2, \cdots, m \
h_k(\mathbf{x}) = 0, \quad k = 1, 2, \cdots, p \
\mathbf{x}_L \leq \mathbf{x} \leq \mathbf{x}_U
\end{cases}
]
其中，向量(\mathbf{x})表示设计变量，(\mu_i)表示第(i)个通用设计目标。上述问题通常不会产生唯一解。

在介绍获取帕累托前沿的方法之前，需要引入几个定义：
- 锚点（(\mu_i^*)） ：当第(i)个通用目标独立最