32、不确定性下的设计优化方法介绍

不确定性下的设计优化方法介绍

1. 基于可靠性的设计优化（RBDO）

1.1 RBDO概述

RBDO 方法主要源于结构可靠性领域，在过去十年取得了显著进展。该方法强调通过确保约束满足的期望概率来实现设计的高可靠性，通常将期望性能指标的均值作为目标函数。约束 $g(X)$ 的一般形式为：
[g(X) \leq 0 \text{ 且 } P(g(X) \leq 0) \geq R]
其中 $R$ 是约束的期望可靠性。失效概率由以下积分给出：
[P_f = \int_{g(X) \leq 0} f_X(x_1,x_2,\ldots,x_n) dx_1 dx_2 \cdots dx_n]
这里 $f_X(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ 是 $n$ 个随机变量 ${X_1,\ldots,X_n}$ 的联合概率密度函数。实际中，设计变量的联合概率密度函数几乎无法获取，即便能获取，计算上述多重积分也十分困难，因此常使用一阶可靠性方法（FORM）和二阶可靠性方法（SORM）等解析近似方法。

1.2 FORM 和 SORM 方法

• FORM 方法 ：当极限状态方程是不相关正态随机变量的线性函数，或可表示为等效正态变量的线性近似时使用。
• SORM 方法 ：使用极限状态的二阶近似来估计失效概率。

1.3 最可能点（MPP）

MPP 用于近似多重积分，它是在进行必要坐标变换后，设计空间中离原点距离最小（最接近失效）的点。对于非线性约束，计算 MPP 到原点的距