28、离散优化与复杂系统建模方法解析

离散优化与复杂系统建模方法解析

1. 切割平面法

1.1 基本概念

切割平面法的核心思想是向现有的整数规划问题中添加不等式（也称为切割）。添加这些不等式的目的是在不排除可行域中整数点的前提下，剔除那些非整数解。之后将得到的新问题作为非整数连续问题进行求解，并检验得到的解是否为整数。若不是整数解，则添加新的切割，重复此过程，直至找到最优整数解。

1.2 戈莫里切割的生成步骤

1. 初始单纯形表 ：
   • 先忽略设计变量的整数约束，将整数规划问题转化为线性规划（LP）问题。
   • 为不等式约束添加松弛变量，得到新的线性规划问题，使用单纯形法求解。
   • 若得到的最优解全为整数值，则停止求解过程；否则，添加戈莫里切割。
2. 生成戈莫里切割 ：
   • 检查单纯形表中的当前基本变量，任意选择一个具有分数值的基本变量，设为 (x_i)。其对应的方程为 (x_i = b_i - {a_{i1}x_1 + \cdots + a_{it}x_t})，其中 (t) 为变量总数（(n) 个原始变量和 (m) 个松弛变量），且 (x_i) 和 (b_i) 为分数。
   • 将系数分离为整数部分和分数部分，即 (b_i = b_{Z:i} + b_{f:i})，(a_{ij} = a_{Z:j} + a_{f:j})。
   • 对上述方程进行变形，得到 (b_{f:i} - [a_{f:1}x_1 + \cdots