49、图的 k - 和中的最大边不相交路径问题解析

图的 k - 和中的最大边不相交路径问题解析

在图论领域，最大边不相交路径（MAX EDP）问题一直是研究的热点。本文将深入探讨图的 k - 和中的 MAX EDP 问题，包括相关的图结构定理、技术工具以及具体的算法实现。

1. 图的分解与结构定理

• 图的宽度与 k - 和 ：一个宽度为 k 的图可以通过图族 G 中的图进行 k - 和得到。图 G 的树宽是使得 G 相对于所有最多有 k + 1 个节点的图类具有宽度为 k 的分解的最小 k 值。
• 图结构定理 ：对于任意正整数 k，定义图族 $L_k$ 如下：
  1. 从一个可以嵌入到亏格为 k 的曲面上的图 G 开始。
  2. 向 G 的至多 k 个面添加宽度为 k 的涡旋。
  3. 添加至多 k 个顶点，每个顶点可以与任意节点子集相邻。
     然后考虑 $L_k$ 通过 k - 和的闭包 $L_k^k$。对于图 H，用 $K_H$ 表示不包含 H - 子式的图。Robertson 和 Seymour 定理指出，对于任何图 H，存在一个正整数 k > 0，使得 $K_H \subseteq L_k^k$。

2. 技术工具

在解决 MAX EDP 问题时，我们依赖以下几种技术工具：
- 移动终端 ：通过将终端（通过发送流）移动到特定的新位置（节点），将 MAX EDP 实例简化为更简单的实例。这两个实例在额外的常数拥塞和常数因子近似下是等价的。 <