【网络流】最大流：求最小割值、求（边）不交路径数量、求二分匹配最大匹配数

1）最大流等于最小割：

P249，定理7.13，每个流网络中，一个s-t 流的最大值等于一个s-t 割的最小容量。

即，求s-t 的最小割，可以转换为求 s-t 的最大流。

2）有向图和无向图中的 （边）不相交路径：

说一组路径边不相交，指所有路径不共享任何一条边，但是可以共享节点。

有向边不交路径问题是，在有向图G中找到边不交的 s-t 路径的最大数目；无向边不交路径问题是，在无向图G中找到边不交的 s-t 路径的最大数目。

P267，命题7.41，如果在有向图G中从 s 到 t 存在 k 条边不交的路径，那么G中的最大 s-t 流的值至少是 k。

根据命题，我们把G中的所有边的容量设为 1 ，那么很明显，G中的最大 s-t 流的值若为 f ，那么G中从 s 到 t 就会存在 f 条边不交的路径！

即，求 s-t 的边不相交路径，可以转换为求 s-t 的最大流（需要把G的边全部设为 1）。

3）二分匹配问题（在一个图G中，找一个最大规模的匹配，不一定是完美匹配）：

P263，定理7.37，G中最大匹配的大小等于G‘最大流的值；并且G中这样一个匹配中的边就是G’中从X到Y的携带流的边。

即，求G的最大二分匹配数，可以转换为G的最大流（需要把G的边全部设为 1，并且加超级源点和汇点）。

一个图G，如果不具有完美匹配，直观感受是：能找到任意的一个节点集合V，V的邻居节点的集合NV含有的节点数量少于V含有的节点数量，即 | NV |<| V | 。