11、枢纽标签优化算法

枢纽标签优化算法

1. 引言

现代应用，如计算驾驶路线和其他基于位置的服务，需要非常快速的点对点最短路径算法。虽然 Dijkstra 算法能在有向图上以接近线性时间、在无向图上以线性时间解决此问题，但有些应用需要亚线性距离查询。这促使了基于预处理的算法的发展，这些算法能在某些图类上实现亚线性查询。

Gavoille 等人引入了距离标记算法，该算法会为每个顶点预先计算标签，这样任意两个顶点 s 和 t 之间的距离可以仅通过它们的标签来计算。其中一个突出的例子是枢纽标签（HL），顶点 v 的标签由一组顶点（v 的枢纽）及其到 v 的距离组成。枢纽标签满足覆盖属性：对于任意两个顶点 s 和 t，在最短 s - t 路径上存在一个顶点 w，它同时属于 s 和 t 的标签。

Cohen 等人给出了一个 O(log n) 近似算法，用于最小化总枢纽标签大小（ℓ1 范数）。本文则给出了 O(log n) 近似算法，用于解决最小化最大标签（ℓ∞ 范数）以及同时最小化 ℓp 和 ℓq 范数的问题。

2. 定义和符号

• 枢纽标签问题（HL） ：给定一个图 G = (V, E)，每对顶点 i, j 之间有一条特定的最短路径 Pij。枢纽标签是为每个顶点 i 分配一个标签 Li ⊆ V，使得对于任何 i, j ∈ V，在路径 Pij 上存在一个顶点 u ∈ Li ∩ Lj。我们关注找到具有小 ℓp 范数的标签，其中 ∥L∥p := (∑n i=1 Lp i )1/p ，∥L∥∞ := maxi∈V Li ，且假设 p ∈ [1, log n]。
• 低负载集合覆盖问题（LS