10、组合多面体扩展复杂度的研究

组合多面体扩展复杂度的研究

在组合优化领域，多面体的扩展复杂度是一个重要的研究方向，它与众多NP - 难问题紧密相关。接下来，我们将深入探讨一些关键概念和相关问题。

基本概念

• 符号表示 ：对于图$G = (V, E)$，用$uv$表示两个顶点$u$和$v$之间的边，用$N_G(v)$表示顶点$v$的邻域，$[n]$表示整数集合${1, 2, …, n}$。
• 割多面体 ：图$G = (V, E)$的割多面体$CUT^{\square}(G)$，是由所有子集$S \subseteq V$定义的割向量$\delta_G(S)$在$|E|$维向量空间$\mathbb{R}^E$中的凸包。割向量$\delta_G(S)$的$uv$坐标定义为：若$|S \cap {u, v}| = 1$，则$\delta_{uv}(S) = 1$；否则$\delta_{uv}(S) = 0$。当$G$是完全图$K_n$时，记为$CUT^{\square}_n$。
• 扩展复杂度 ：
  • 多面体$P \subseteq \mathbb{R}^d$的扩展形式（EF）是一个线性系统$Ex + Fy = g, y \geq 0$，其中$E, F$分别是具有$d, r$列的实矩阵，$g$是列向量，且$x \in P$当且仅当存在$y$使得该系统成立。EF的大小定义为系统中的不等式数量。
  • 多面体$P$的扩展是另一个多面体$Q \subseteq \mathbb{R}^e$，使得$P$是$Q$在某个线性映射下的像。扩