17、热带卷积的多面体视角

热带卷积的多面体视角

1. 引言

热带（或最小加）卷积是细粒度复杂度中一个被广泛研究的算法原语。给定两个序列 $a = (a_0, \ldots, a_n) \in R^{n + 1}$ 和 $b = (b_0, \ldots, b_n) \in R^{n + 1}$，它们的热带卷积 $a * b$ 定义为序列 $c = (c_0, \ldots, c_{2n}) \in R^{2n + 1}$，其中：
[c_k = \min_{i + j = k} a_i + b_j \quad \text{for } k = 0, \ldots, 2n]
这个操作也被称为 (min, +)-卷积、下确界卷积或上境图和。通过逐点取反 $a$ 和 $b$，可以用最大值代替最小值来等价地表述。

在连续形式下，它是凸分析中的经典研究对象。离散形式的热带卷积已经被算法研究了半个多世纪，至少可以追溯到 Bellman 和 Karush 的经典工作。

目前，计算两个序列的热带卷积有一个平凡的二次时间过程，大量研究致力于改进这个上界。虽然有 $o(n^2)$ 时间的算法，但还没有已知的 $n^{1.99}$ 时间算法。更高效的算法仅在受限的特殊情况或宽松的计算模型中存在。这使得研究人员将热带卷积的二次下界作为细粒度复杂度中的一个硬度假设。例如，Cygan 等人和 Künnemann 等人分别正式提出了以下猜想：
猜想 1（MinConv - 猜想） ：不存在一种算法，能在时间 $n^{2 - \varepsilon} \cdot \text{polylog}(d)$ 内计算上述等式，其中 $a$ 和 $b$ 的整数项绝对值至多为 $d$，且