39、复数上弱空间复杂度研究

复数上弱空间复杂度研究

1. 凸多面体相关命题

在研究一些数学结构时，凸多面体是重要的对象。有以下两个关于凸多面体的命题：
- 命题2 ：对于一个凸多面体 (P)，点 (v \in P) 是 (P) 的顶点，当且仅当对于任意 (n \geq 1) 以及任意 (x_1, \ldots, x_n \in P)，都有 (v \neq \sum_{i=1}^{n} \lambda_i x_i)，其中 (0 \leq \lambda_i < 1) 且 (\sum_{i} \lambda_i = 1)。
- 命题3 ：每个凸多面体 (P) 是其顶点集合的凸包，即 (P = conv(ver(P)))。如果 (P = conv(S)) 且 (S) 是有限集，那么 (ver(P) \subseteq S)，这里 (ver(P)) 表示多面体 (P) 的顶点集合。

2. 弱空间类的布尔部分

虽然BSS模型旨在捕捉实数和复数计算的内在复杂性，但研究这种计算在布尔输入上的能力是自然的。

• 定义8 ：设 (C) 是BSS计算模型中的一个复杂度类，那么 (C) 的布尔部分记为 (BP(C))，(BP(C) = {L \cap {0, 1}^* | L \in C})。
• 定理2 ：对于 (F \in {C, R})，有 (BP(LOGSPACEW) \subseteq DLOG)。下面是其证明过程，主要分为三种情况：
  • 情况1