2、精确权重子图与 k - 和猜想

精确权重子图与 k - 和猜想

1 引言

在计算机科学领域，k - 和问题与图中特定形式子图的查找问题是两个被不同研究群体分别广泛研究多年的基础问题。本文将深入探讨这两个问题之间的关系，揭示 k - 和问题与子图查找问题的“精确权重”版本之间的紧密联系。

1.1 k - 和问题

k - 和问题是著名的 NP 完全问题子集和问题的参数化版本。它的核心问题是：在一个包含 n 个整数的集合中，是否存在一个大小为 k 的子集，其整数之和为 0。该问题可以在时间复杂度为 (O(n^{\lceil k/2 \rceil})) 内轻松解决。例如，Baran、Demaine 和 Pǎtraşcu 展示了如何使用特定的哈希技术在 (O(n^2 / \log^2 n)) 时间内解决 3 - 和问题。然而，长期以来，能否在 (O(n^{\lceil k/2 \rceil - \epsilon}))（其中 (\epsilon > 0)）的时间内解决某些 k 的 k - 和问题一直是一个悬而未决的难题。

在某些受限的计算模型中，Erickson 最初建立了 (\Omega(n^{\lceil k/2 \rceil})) 的下界，后来 Ailon 和 Chazelle 对其进行了推广。最近，Pǎtraşcu 和 Williams 表明，对于所有 k 都存在 (n^{o(k)}) 时间复杂度的算法将反驳指数时间假设。基于这些研究，形成了 k - 和猜想：
- k - 和猜想 ：不存在 (k \geq 2)、(\epsilon > 0) 以及一个能以高概率在 (O(n^{\lceil k/2 \rceil - \epsilon}