5、精确舍入基础与图中最短路径近似算法

精确舍入基础与图中最短路径近似算法

精确舍入基础

精确舍入算法步骤

精确舍入算法是解决基本函数精确舍入问题的有效方法。其具体步骤如下：
1. 首先计算 $\tilde{m} = \frac{2x}{\pi} \pm 2^{-3}$。
2. 令 $m’ = \lfloor m \rfloor$（任意处理平局情况）。
3. 若 $|m’ - \tilde{m}| > \frac{1}{4}$，则可知 $m = \lfloor \tilde{m} \rfloor$，输出 $1 - 2 \cdot parity(\lfloor \tilde{m} \rfloor)$。
4. 否则，注意到 $m’\frac{\pi}{2} > x$ 当且仅当 $\pi > \frac{2x}{m’}$。但 $\frac{2x}{m’} \in \mathbb{Z}/(m’N)$。
5. 根据引理 7，$-\log |\pi - (\frac{2x}{m’})| \leq B_{\pi}(5m’N)$。因此计算 $\tilde{\pi} = \pi \pm 2^{-1 - B_{\pi}(5m’N)}$。
6. 可知 $\pi > \frac{2x}{m’}$ 当且仅当 $\tilde{\pi} > \frac{2x}{m’}$，后者容易确定。若 $\tilde{\pi} > \frac{2x}{m’}$，输出 $1 - 2 \cdot parity(m’)$；否则，输出 $2 \cdot parity(m’) - 1$。

这个算法的核心在于利用任意精度近似的计算框架和超越数的数学性质，避免了表生成者困境。不