13、广义商空间上的小波变换研究

广义商空间上的小波变换研究

1. 勒贝格空间中的广义商小波变换

在勒贝格空间中，小波变换相关的卷积有特定的定义。小波变换的卷积关系为：
((W(\varphi# f))(b, a) = (W\varphi)(b, a)(W f)(b, a))
小波卷积 # 与傅里叶卷积 ∗ 之间的关联定义为：
(\hat{\psi}(a\omega)(\varphi# f)^{\wedge}(\omega) = (2\pi)^{-1} \hat{\psi}(a\cdot) \hat{\varphi}(\cdot) * \hat{\psi}(a\cdot) \hat{f}(\cdot) )
当 (\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1) 时，若 (\hat{\psi}(a\omega) \hat{\varphi}(a\omega) \in L^1(R))，(\hat{\psi}(a\omega) \hat{f}(\omega) \in L^1(R)) 且 (\hat{\psi}(a\omega) \neq 0)（(a \in R^+)），并且 ((W\varphi)(b, a) = (W f)(b, a)) 对于所有 ((b, a) \in R \times R^+) 成立，那么 (\varphi = f) 几乎处处成立。

通过对上述公式进行处理，如将其除以 (\hat{\psi}(a\omega) \neq 0) 并应用逆傅里叶变换，可得到：
((\varphi# f)(z) = \int_{R} \int_{R} \varphi(x) f(y)D_a(x, y, z)d