17、高效时间量子行走解决 3 - 相异性问题

高效时间量子行走解决 3 - 相异性问题

1 背景与基础概念

1.1 负例定义与向量估计

在负例情况下，定义向量 $|w\rangle$ 如下：
$|w\rangle = \sqrt{\frac{C_1}{|V_0|}} (\sum_{S\in V_0} \frac{1}{\sqrt{C_1}} |S\rangle + \sum_{e\in E} |e\rangle)$
通过与定理 3 证明类似的方法，可得 $\Pi_A|w\rangle = 0$ 且 $\Pi_B|w\rangle = |\varsigma\rangle$。接下来估计 $| |w\rangle |$，边集 $E$ 中边的数量最多为 $n$ 乘以 $V_0 \cup \cdots \cup V_{k - 1}$ 中顶点的数量。为此，需要估计 $|V_i|$（$i \in [k - 1]$）。$V_0$ 与 $V_i$ 存在这样的关系：$S \in V_0$ 与 $S’ \in V_i$ 相关当且仅当 $S’ \setminus S$ 由 $i$ 个相等元素组成。$V_0$ 中的每个元素在 $V_i$ 中最多有 $n \binom{k - 1}{i} = O(n)$ 个像，其中大 $O$ 符号后的常数与 $k$ 呈指数关系。这是因为输入中最多有 $n$ 个最大碰撞，对于每个碰撞，最多有 $\binom{k - 1}{i}$ 种扩展 $S$ 的方式。另一方面，$V_i$ 中的每个元素在 $V_0$ 中恰好有 $r_i + 1$ 个原像。因此，$|V_i| = O(n|V_0|/r_i)$，进而可得：
$| |w\rangle | = O(\sqrt{1 + n/r_1 + n/r_2 + \cdots