12、广义商空间上的小波变换及其应用

广义商空间上的小波变换及其应用

1. 引言

小波是数学、信号处理、图像处理和科学计算前沿的最新领域。它是数学各个方面的多功能工具，具有巨大的应用潜力，因为小波可以被视为用于时频分析表示函数的独特基础。

傅里叶分析理论是纯数学和应用数学分析核心中一个成熟且受欢迎的主题。傅里叶变换的基本构建块（复指数：$e^{i2\pi tu}$）在所有时间（$-\infty < t < \infty$）内振荡。因此，傅里叶变换很难表示在时间上局部化的信号，它无法积累随时间变化的信息，也不提供频率存在的时间，所以仅适用于平稳信号，在处理非光滑信号时效果不佳。

在这些情况下，小波分析通常非常有效，它为处理信号的局部方面提供了一种简单的方法。在过去的二十年里，小波变换在信号分析领域的发展不断扩大，使其成为一种重要的数学工具。小波变换可以在时频平面上表示时域函数，作为频率和时间定位算子，还能根据时间间隔改变以获取高低频分量，有助于研究具有局部脉冲和振荡的信号，尤其在从信号中提取噪声方面能补充经典的傅里叶分析方法。小波分析是纯数学和应用数学的主要研究方向之一，并且仍在快速发展。

小波主要是在过去二十年中发展起来的，与不同学科的经典理论相关，包括纯数学、应用数学和工程学。小波的概念在20世纪80年代末开始出现在文献中，其理论可以看作是来自不同领域思想的综合，如物理学（量子力学中的相干态形式）、数学（Caldern Zygmund算子和Littlewood - Paley理论）和工程学（信号和图像处理）。1985年，Meyer发现了Morlet和马赛小组的结果，注意到Morlet算法与1964年Caldern在调和分析中的恒等分解的联系，从而建立了小波分析的数学基础，他也被视为小