这篇博客探讨了矩阵范数的等价性，证明了在实数或复数域上，任何两种矩阵范数都是等价的，并通过连续性和有界闭集上的最值来阐述证明过程。
矩阵范数的等价
设 F=RF=R 或 C,C, 对于任意两个Fn×nFn×n 上的范数 ∥⋅∥α‖⋅‖α 与 ∥⋅∥β,‖⋅‖β, 若存在常数 C1>0,C2>0,C1>0,C2>0, 使得 ∀X∈Fn×n,∀X∈Fn×n,
∥X∥α≤C1∥X∥β,∥X∥β≤C2∥X∥α‖X‖α≤C1‖X‖β,‖X‖β≤C2‖X‖α
则称 ∥⋅∥α‖⋅‖α 与 ∥⋅∥β‖⋅‖β 是等价的。
性质
Fn×nFn×n 上的任意两种矩阵范数都是等价的。
证明
令 Eij∈Fn×nEij∈Fn×n 表示只有在第 ii 行第
列的元素为 1,1, 其他元素都为 00 的矩阵。
则
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