定积分的基本性质3 保序性

性质3 保序性

若 $f(x)$ 和 $g(x)$ 都在 $[a, b]$ 上可积，若 $f(x) \ge g(x)$ ，则 $\int _{a} ^{b} f(x) \mathrm {d} x \ge \int _{a} ^{b} g(x) \mathrm {d} x$

证明：

$f(x)$ 和 $g(x)$ 都在 $[a, b]$ 上可积，则由性质1，
$h(x) = f(x) - g(x)$ 在 $[a, b]$ 上可积，且
$\int _{a} ^{b} h(x) \mathrm {d} x = \int _{a} ^{b} f(x) \mathrm {d} x - \int _{a} ^{b} g(x) \mathrm {d} x,$
由已知 $\forall x \in [a, b], f(x) \ge g(x)$，则 $h(x) = f(x) - g(x) \ge 0,$
因此 对于 $[a, b]$ 的任意一种有 $n + 1$ $( n \in \mathbb N, n \ge 1 )$个分点的划分 $P$ ,
$\sum _{i = 1} ^{n} h(\varepsilon_i)\Delta x_i \ge 0,$
因此 $\int _{a} ^{b} f(x) \mathrm {d} x - \int _{a} ^{b} g(x) \mathrm {d} x = \int _{a} ^{b} h(x) \mathrm {d} x$
$= \lim \limits_{\lambda \rightarrow 0} \sum _{i = 1} ^{n} h(\varepsilon_i)\Delta x_i \ge 0,$
因此 $\int _{a} ^{b} f(x) \mathrm {d} x \ge \int _{a} ^{b} g(x) \mathrm {d} x$