定积分的基本性质3 保序性

本文探讨了积分不等式的保序性,并给出了详细的数学证明过程。若两个函数在某一区间内满足大小关系,那么它们在该区间上的积分也保持同样的大小关系。

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性质3 保序性

f(x) g(x) 都在 [a,b] 上可积,若 f(x)g(x) ,则 baf(x)dxbag(x)dx

证明:

f(x) g(x) 都在 [a,b] 上可积,则由性质1
h(x)=f(x)g(x) [a,b] 上可积,且
bah(x)dx=baf(x)dxbag(x)dx,
由已知 x[a,b],f(x)g(x) ,则 h(x)=f(x)g(x)0,
因此 对于 [a,b] 的任意一种有 n+1 (nN,n1) 个分点的划分 P ,
ni=1h(εi)Δxi0,
因此 baf(x)dxbag(x)dx=bah(x)dx
=limλ0ni=1h(εi)Δxi0,
因此 baf(x)dxbag(x)dx

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