向量范数的等价性

向量范数的等价

对于任意两个有限维线性空间 $V$ 上的范数 $\Vert \cdot \Vert _{\alpha}, \Vert \cdot \Vert _{\beta},$ 若存在常数 $C_1 > 0, C_2 > 0$ 使得 $\forall \eta \in V,$

$$\Vert \eta \Vert _{\alpha} \le C_1 \Vert \eta \Vert _{\beta}, \Vert \eta \Vert _{\beta} \le C_2 \Vert \eta \Vert _{\alpha}$$
则称 $\Vert \cdot \Vert _{\alpha}$ 与 $\Vert \cdot \Vert _{\beta}$ 是等价的。

性质

有限维线性空间中的任意两种向量范数都是等价的。

证明

设 $\xi$ 是数域为 $\mathbb F$ 的 $n$ 维线性空间 $V$ 的一组基。
1. 首先证明对于 $V$ 中任意一种范数 $\Vert \cdot \Vert,$ 函数 φ:F