矩阵的秩的性质

定理 1

对于任意一个矩阵 Am×n,Am×n, 对于 AA 的任意一个 stt 列组成的矩阵 Bs×t,r(B)r(A)+s+tmn

证明

  1. 首先证明: 对于任意一个矩阵 Am×n,Am×n, 对于 AA 的任意一个 mn1n−1 列组成的矩阵 Bm×(n1),r(B)r(A)1Bm×(n−1),r(B)≥r(A)−1
    AA 中的一个行列式不为零的 r(A) 阶子式,则该子式最多有一列不在 BB 中,按照这一列展开,则该子式是 B 中的 r(A)1r(A)−1 阶子式的线性组合,因此 BB 中至少有一个 r(A)1 阶子式不为 0,0, 因此 r(B)r(A)1r(B)≥r(A)−1
  2. 同理可得,对于任意一个矩阵 Am×n,Am×n, 对于 AA 的任意一个 m1nn 列组成的矩阵 B(m1)×n,r(B)r(A)1
  3. BB 可看成是从 A 中逐个移除 msm−sntn−t 列而得到的矩阵,因此 r(B)r(A)(ms)(nt)=r(A)+s+tmnr(B)≥r(A)−(m−s)−(n−t)=r(A)+s+t−m−n

定理 2

Am×p,Bp×n,r(A)+r(B)pr(AB)∀Am×p,Bp×n,r(A)+r(B)−p≤r(AB)

证明


A=P1(ErA×rA000)Q1A=P1(ErA×rA000)Q1
B=P2(ErB×rB000)Q2B=P2(ErB×rB000)Q2
AB=P1(ErA×rA000)Q1P2(ErB×rB000)Q2AB=P1(ErA×rA000)Q1P2(ErB×rB000)Q2
=P1QQ2=P1QQ2
其中 P=Q1P2,Q=(ErA×rA000)P(ErB×rB000)P=Q1P2,Q=(ErA×rA000)P(ErB×rB000)
P1,Q1,P2,Q2P1,Q1,P2,Q2 都可逆。
P=(P11P21P12P22),P=(P11P12P21P22),Q=(P11000)p×p,Q=(P11000)p×p,
由定理1, r(AB)=r(P1QQ2)=r(Q)=r(P11)r(P)+r(A)+r(B)pp=r(A)+r(B)pr(AB)=r(P1QQ2)=r(Q)=r(P11)≥r(P)+r(A)+r(B)−p−p=r(A)+r(B)−p

矩阵是一个重要的线性代数概念,它描述了矩阵中线性无关行或列的最大数量。以下是关于矩阵的一些关键数学性质及其应用: --- ### 矩阵的基本定义与性质 1. **的定义** 对于一个$m \times n$矩阵$A$,其$r(A)$等于该矩阵中线性无关行向量或列向量的最大数目。 2. **行列式关系** 如果矩阵是非奇异方阵,则它的等于矩阵阶数$n$;若矩阵是奇异的,则其小于$n$。 3. **不等式** 设$A_{m\times n}$和$B_{n\times p}$为两个矩阵,则有: $$ r(AB) \leq \min(r(A), r(B)) $$ 4. **加法分解** 若矩阵可以表示成两部分之和的形式,则有: $$ r(A + B) \leq r(A) + r(B) $$ 5. **转置不变性** 矩阵与其转置矩阵相等,即: $$ r(A^T) = r(A) $$ 6. **零空间维度的关系 (-零化度定理)** 对于任意$m \times n$矩阵$A$,满足以下关系: $$ r(A) + \dim(\text{null}(A)) = n $$ --- ### 矩阵的应用场景 1. **线性系统求解** 在解决线性方程组时,可以通过比较系数矩阵和增广矩阵来判断系统的解是否存在以及是否唯一。 2. **数据压缩与降维** 的概念广泛应用于主成分分析(PCA),用于降低高维数据集的维度同时保留主要特征。 3. **图像处理中的低近似** 图像通常可以用矩阵形式表示,通过对这些矩阵进行低逼近实现去噪和平滑效果。 4. **控制理论中的可观测性和可控性分析** 控制系统设计过程中需要评估状态变量能否被完全观测或者受控,这依赖于特定构造出的矩阵是否有满特性。 --- ### 示例代码展示如何计算矩阵 下面提供一段Python代码演示如何使用NumPy库来计算给定矩阵: ```python import numpy as np # 创建一个示例矩阵 matrix = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]]) # 计算矩阵 rank_of_matrix = np.linalg.matrix_rank(matrix) print(f"The rank of the matrix is {rank_of_matrix}") ``` 运行结果会显示所创建矩阵的实际数值等级值。 ---
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