定理 1
对于任意一个矩阵 Am×n,Am×n, 对于 AA 的任意一个 行 tt 列组成的矩阵
证明
- 首先证明: 对于任意一个矩阵 Am×n,Am×n, 对于 AA 的任意一个 行 n−1n−1 列组成的矩阵 Bm×(n−1),r(B)≥r(A)−1Bm×(n−1),r(B)≥r(A)−1 。
取 AA 中的一个行列式不为零的 阶子式,则该子式最多有一列不在 BB 中,按照这一列展开,则该子式是 中的 r(A)−1r(A)−1 阶子式的线性组合,因此 BB 中至少有一个 阶子式不为 0,0, 因此 r(B)≥r(A)−1r(B)≥r(A)−1 。 - 同理可得,对于任意一个矩阵 Am×n,Am×n, 对于 AA 的任意一个 行 nn 列组成的矩阵 。
- BB 可看成是从 中逐个移除 m−sm−s 行 n−tn−t 列而得到的矩阵,因此 r(B)≥r(A)−(m−s)−(n−t)=r(A)+s+t−m−nr(B)≥r(A)−(m−s)−(n−t)=r(A)+s+t−m−n
定理 2
∀Am×p,Bp×n,r(A)+r(B)−p≤r(AB)∀Am×p,Bp×n,r(A)+r(B)−p≤r(AB)
证明
令
A=P1(ErA×rA000)Q1A=P1(ErA×rA000)Q1
B=P2(ErB×rB000)Q2B=P2(ErB×rB000)Q2
AB=P1(ErA×rA000)Q1P2(ErB×rB000)Q2AB=P1(ErA×rA000)Q1P2(ErB×rB000)Q2
=P1QQ2=P1QQ2
其中 P=Q1P2,Q=(ErA×rA000)P(ErB×rB000)P=Q1P2,Q=(ErA×rA000)P(ErB×rB000)
P1,Q1,P2,Q2P1,Q1,P2,Q2 都可逆。
令 P=(P11P21P12P22),P=(P11P12P21P22), 则 Q=(P11000)p×p,Q=(P11000)p×p,
由定理1, r(AB)=r(P1QQ2)=r(Q)=r(P11)≥r(P)+r(A)+r(B)−p−p=r(A)+r(B)−pr(AB)=r(P1QQ2)=r(Q)=r(P11)≥r(P)+r(A)+r(B)−p−p=r(A)+r(B)−p