可逆线性变换

线性变换的逆变换

对于线性空间 $V$ 上的任意一个线性变换 $f,$ 若存在 $V$ 上的一个变换 $g,$
使得 $f \circ g = g \circ f = \mathbf {I},$ 则称 $g$ 为 $f$ 的逆变换，记为 $f^{-1}$ 。

逆变换的唯一性

对于线性空间 $V$ 上的任意一个线性变换 $g,$ 若存在线性空间 $V$ 上的线性变换 $g, g'$ 使得 $f \circ g = g \circ f = \mathbf {I},$ 且 $f \circ g' = g' \circ f = \mathbf {I},$ 则 $g = g'$ 。

证明

$g = g \circ \mathbf {I}_n = g \circ (f \circ g' ) = (g \circ f) \circ g' = \mathbf {I}_m \circ g' = g'$

可逆的必要条件

1. 若 $f$ 可逆，则 $f$ 是满射，即 $f$ 的值域 ranf=V