数学分析 反函数存在性定理，连续性定理与求导定理

反函数存在性定理

若函数 $y = f(x), x \in D_f$ 是严格单调增加（减少）的，则存在它的反函数
$x = f^{-1}(y): R_f \rightarrow X$， 并且 $f^{-1}(y)$ 也是严格单调增加（减少）的。

证明：

不妨设 $y = f(x), x \in D_f$ 严格单调增加， 可知 $\forall x_1, x_2 \in D_f, x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2)$， 所以 $\forall x_1, x_2 \in D_f, f(x_1) = f(x_2) \Rightarrow x_1 = x_2$， 所以存在反函数 $f^{-1}(y), y \in R_f$。
$\forall y_1, y_2 \in D_{f^{-1}} = R_f,$ 设 $x_1 = f^{-1} (y_1) ,$ $x_2 = f^{-1} (y_2),$ 则 $y_1 = y_2 \Rightarrow x_1 = x_2,$ 否则
(1) $x_1 < x_2 \Rightarrow y_1 = f(x_1) < f(x_2) = y_2,$
(2) $x_1 > x_2 \Rightarrow y_1 = f(x_1) > f(x_2) = y_2$，
因此 $f^{-1}(y)$ 也是严格单调增加（减少）的。

反函数连续性定理

设函数 $y = f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续且严格单调增加，$f(a) = \alpha, f(b) = \beta,$ 则它的反函数 $x = f^{-1} (y)$ 在 $[\alpha, \beta]$ 上连续且严格单调增加。

证明：

1. 首先证明 $R_f = f[a, b] = [\alpha, \beta]$：
   1.1 由于 $f(x)$ 严格单调增加， 因此 $R_f \subseteq [f(a), f(b)] = [\alpha, \beta]$。
   1.2 显然 $\alpha, \beta \in f([a, b])$。 $\forall \gamma \in (\alpha, \beta),$ 令 $S = \{ x | x \in [a, b], f(x) < \gamma \},$ 则 集合 $S$ 非空有上界， 由确界存在定理， $S$ 必有上确界， 记 $x_0 = \operatorname {sup} S,$ 则 $x_0 \in[a, b]$。 由于 $f(x)$ 连续， 因此 $\exists a_1, b_1 \in (\alpha, \beta), f(a_1) < \gamma, f(b_1) > \gamma$， 又$f(x)$ 严格单调增加， 因此 $a_1 < b_1, \forall x \in [a, a_1], f(x) < \gamma, \forall x \in [b_1, b], f(x) > \gamma,$ 所以 $x_0 \in [a_1, b_1] \subseteq (a, b)$。
   (1) 若 $f(x_0) < \gamma,$ 则由 $f(x)$ 连续得 $\exists x' \in [a, b], x' > x_0, f(x') < \gamma$， 因此 $x' \in S \Rightarrow x' \le x_0,$ 矛盾；
   (2) 若 $f(x_0) > \gamma,$ 则 由 $f(x)$ 连续得 $\exists x' \in [a, b], x' < x_0, f(x') > \gamma，$ 因此 $\forall x'' \in [x', x_0], f(x'') > \gamma$, 与 $x_0$ 是 $S$ 的上确界矛盾。
   由 (1), (2) 得， $f(x_0) = \gamma$。所以， $[\alpha, \beta] \subseteq R_f$。
   因此， $R_f = f[a, b] = [\alpha, \beta]$。
2. 根据反函数存在定理， 必存在 $f$ 的反函数 $x = f^{-1} (y): [\alpha, \beta] \rightarrow [a, b],$ 且 $f^{-1} (y)$ 也是严格单调增加函数。
   2.1 $\forall y_0 \in (\alpha, \beta),$ 令 $x_0 = f^{-1} (y_0),$ 则 $f(x_0) = y_0 \in (\alpha, \beta) \Rightarrow x_0 \in (a, b)，$
   $\forall \varepsilon > 0, \varepsilon \le \operatorname {min} (x_0 - a, b - x_0),$ 令 $y_1 = f (x_0 - \varepsilon), y_2 = f (x_0 + \varepsilon),$ 则 $y_1 < y_0 < y_2,$ 令 $\delta = \operatorname {min} (y_0 - y_1, y_2 - y_0)$ 则
   $\forall y \in O(y_0, \delta) \subseteq (y_1, y_2), x_0 - \varepsilon = f^{-1} (y_1) < f^{-1} (y) < f^{-1} (y_2) = x_0 + \varepsilon$
   $\Rightarrow | f^{-1} (y) - f^{-1} (y_0) | = | f^{-1} (y) - x_0 | < \varepsilon,$ 因此 $f^{-1} (y)$ 在点 $y_0$ 上连续。
   2.2 同样可得 $f^{-1} (y)$ 在点 $\alpha$ 上左连续， 在点 $\beta$ 上右连续。

综上， $f^{-1} (y)$ 在闭区间 $[\alpha, \beta]$ 上连续。

反函数求导定理

若函数 y=f(x)

$y = f(x)$ 在 $(a, b)$ 上连续，严格单调，可导并且 $f'(x) \neq 0,$ 记 $\alpha = \operatorname {min} (f (a +), f (b - )), \beta = \operatorname {max} (f (a +), f (b - ))$， 则它的反函数 $x = f ^{-1} (y)$ 在 $(\alpha, \beta)$ 上可导，且有

[f−1(y)]′=0)=f′−1

$$[f ^{-1} (y)]' = \frac {1} {f'(x)}$$

证明

因为函数 $y = f(x)$ 在 $(a, b)$ 上连续，严格单调， 由反函数存在性定理， 它的反函数 $x = f ^{-1} (y): (\alpha, \beta) \rightarrow (a, b)$ 存在，连续且严格单调。
因此， $\forall y_0 \in (\alpha, \beta),$ 令 $x_0 = f ^{-1} (y_0) ,$ 则 $\lim \limits_{y \to y_0 } f ^{-1} (y) = f ^{-1} (y_0) = x_0,$ 且 $\forall y \in (\alpha, \beta), y \neq y_0 \Rightarrow f ^{-1} (y) \neq f ^{-1} (y_0),$
由于 $f'(x_0) = \lim \limits_{x \to x_0 } \frac { f(x) - f (x_0) } { x - x_0 },$
由复合函数的极限的性质可得 $\lim \limits_{y \to y_0 } \frac { f(f ^{-1} (y)) - f (f ^{-1} (y_0)) } { f ^{-1} (y) - f ^{-1} (y_0) } = \lim \limits_{x \to x_0 } \frac { f(x) - f (x_0) } { x - x_0 } = f'(x_0)$
因此 limy→y0y−y0f−1(y)−f−1(y0)=limy→y0f(f−1(y))−f(f−1(y0))f−1(y)−f−1(y0)=f′(x0)≠0,$\lim \limits_{y \to y_0 } \frac { y - y_0 } { f ^{-1} (y) - f ^{-1} (y_0) } = \lim \limits_{y \to y_0 } \frac { f(f ^{-1} (y)) - f (f ^{-1} (y_0)) } { f ^{-1} (y) - f ^{-1} (y_0) } = f'(x_0) \neq 0,$
因此 $[f ^{-1} (y)]' = \lim \limits_{y \to y_0 } \frac { f ^{-1} (y) - f ^{-1} (y_0) } { y - y_0 } = \frac{1} {\lim \limits_{y \to y_0 } \frac { y - y_0 } { f ^{-1} (y) - f ^{-1} (y_0) }}= \frac {1}{f' (x_0)}$