23、刚体运动插值与机器人运动学研究

刚体运动插值与机器人运动学研究

1. 刚体运动插值算法

1.1 电机球面线性插值函数

在共形几何代数框架下对几何对象 (O) 进行插值时，对于点、线、面和球体，分别使用以下公式，并应用混合插值电机 (M_B)，对于球体还需使用膨胀器 (D = e^{\ln \rho})。
- 点的插值公式：(x_t^c = M_t^B x_{t - 1}^c \tilde{M} t^B) (9.10)
- 线的插值公式：(L_t = M_t^B L {t - 1} \tilde{M} t^B) (9.11)
- 面的插值公式：(\pi_t = M_t^B \pi {t - 1} \tilde{M} t^B) (9.12)
- 球体的插值公式：(s_t = D_t M_t^B s {t - 1} \hat{M}_t^B D_t^{-1}) (9.13)

1.2 斯图迪二次曲面插值算法

1.2.1 插值算法

给定包含三个齐次点 ([X_0, X_1, X_2]) 的集合 (X)，由插值齐次点 ({X_0’, \cdots, X_N’}) 创建的插值曲线 (X) 可表示为：
(X = f_0(t)X_2^T M X_3 X_1 + f_1(t)X_1^T M X_3 X_2 + f_0(t)X_1^T M X_2 X_3) (9.15)

其中，(t) 是 0 到 1 之间的插值值，(f_0(t))、(f_1(t)) 和 (f_2(t)) 计算如下：
(f_0 = (t_0 - t_1)(t_0 - t_2)