9、机器人运动学中的高级表示方法及速度分析

机器人运动学中的高级表示方法及速度分析

1. 旋转矩阵与螺旋表示

在机器人运动学中，旋转矩阵是描述刚体旋转的重要工具。例如，对于一个刚体绕轴 $\hat{s} = \frac{1}{\sqrt{3}}[1\ 1\ 1]^T$ 旋转 $\theta = \frac{\pi}{6}$ 的情况，可使用特定公式计算旋转矩阵 $A_RB$：

ARB =


0.911
−0.244
0.333
0.333
0.911
−0.244
−0.244
0.333
0.911



为验证计算结果的准确性，可利用旋转矩阵的特征值和实特征向量。此旋转矩阵的特征值为 $\lambda_{1,2,3} = 1, e^{\pm i\frac{\pi}{6}}$，实特征向量为 $v_1 = [0.577\ 0.577\ 0.577]^T$，恰好对应螺旋轴，从而验证了计算的准确性。

另外，已知旋转矩阵 $A_RB$ 时，也可求出其螺旋表示。例如对于矩阵：

ARB =


0.933
−0.067
−0.354
−0.067
0.933
−0.354
0.354
0.354
0.866



使用相关公式可计算出旋转角 $\theta = \frac{\pi}{6}$，等效旋转轴 $\hat{s} = [0.707\ -0.707\ 0]^T$，螺旋向量 $\theta = [0.37\ -0.37\ 0]^T$。

2. 四元数表示

四元数