47、MATLAB优化算法与应用详解

MATLAB优化算法与应用详解

1. 优化问题概述

在许多实际问题中，我们常常需要找到某个函数的最优值，这就涉及到优化问题。优化问题可以分为无约束优化和约束优化。无约束优化是指在没有任何限制条件下寻找函数的最优值，而约束优化则是在满足一定约束条件的情况下寻找函数的最优值。MATLAB提供了许多内置函数来解决这些优化问题，下面将详细介绍这些函数的使用方法。

2. 无约束优化示例

首先，我们来看一个无约束优化的示例。假设我们要找到函数 (f(x) = (2x^2\sin(x) + e^{-x})^2) 在区间 ([-4, 0]) 内的最小值。可以使用 fminbnd 函数来解决这个问题，具体代码如下：

f = @(x) (2*x^2*sin(x) + exp(-x))^2;
lb = -4;
ub = 0;
x0 = -1;
[x,fv] = fminbnd(f, lb ,ub)

运行上述代码后，得到的结果为：

x =
   -1.4962 
fv =
   6.5941e-11

这表明函数在 (x = -1.4962) 处取得最小值 (6.5941\times10^{-11})。

3. 约束优化函数

3.1 lsqlin 函数

lsqlin 函数用于解决约束线性最小二乘问题，其基本形式为：
[
\min_{x} \frac{1}{2} |Cx - d|^2
]
约束条件为 (Ax \leq b) 和 (Aeqx = beq)。基本语法如下：

x = lsqlin(C, d, A, b, Aeq, beq, lb, ub, x0)

其中，(C) 是系数矩阵，(x0) 是起始点，(lb) 和 (ub) 分别是变量的下界和上界。如果没有边界限制，可以使用空矩阵或省略这些参数。

3.2 fmincon 函数

fmincon 函数用于寻找多个变量函数的约束最小值，其基本形式为：
[
\min_{x} f(x)
]
约束条件为 (Ax \leq b)，(Aeqx = beq) 和 (lb \leq x \leq ub)。基本语法如下：

[x, f] = fmincon(fun, x0, A, b, Aeq, Beq, lb, ub)

其中，(f) 是最优解处的函数值，(fun) 是函数句柄。

3.3 fminimax 函数

fminimax 函数用于寻找多个变量函数的极小极大解，其基本形式为：
[
\min_{x} \max_{i} f_i(x)
]
约束条件为 (Ax \leq b)，(Aeqx = beq) 和 (lb \leq x \leq ub)。基本语法如下：

x = fminimax(fun, x0, A, b, Aeq, Beq, lb, ub)

3.4 quadprog 函数

quadprog 函数用于解决二次规划问题，其基本形式为：
[
\min_{x} \frac{1}{2} x^T Hx + c^T x
]
约束条件为 (Ax \leq b)，(Aeqx = beq) 和 (lb \leq x \leq ub)。基本语法如下：

[x, f] = quadprog(H, c, A, b, Aeq, beq, lb, ub, x0)

其中，(f) 是最优解处的函数值。

4. 约束优化示例

4.1 约束线性最小二乘问题

考虑以下约束线性最小二乘问题：
[
\min_{x} \frac{1}{2} |Cx - d|^2
]
约束条件为 (Ax \leq b)，其中：
[
A = \begin{bmatrix}-2 & 1 \ 3 & 5\end{bmatrix},
b = \begin{bmatrix}6 \ 8\end{bmatrix},
C = \begin{bmatrix}2 & 0 \ 0 & 3\end{bmatrix},
d = \begin{bmatrix}4 \ 4\end{bmatrix}
]
可以使用 lsqlin 函数来解决这个问题，具体代码如下：

C = [2 0;0 3];
d = [4; 4];
A = [-2 1;3 5];
b = [6; 8];
x = lsqlin(C, d, A, b)

运行上述代码后，得到的结果为：

Optimization terminated.
x =
    1.3039
    0.8177

4.2 函数极小化问题

考虑以下函数极小化问题：
[
\min_{x} f(x) = \left(x_1 - \frac{1}{2}\right)^2 \left(x_1 + 1\right)^2 + 2\left(x_2 + 1\right)^2 \left(x_2 - 1\right)^2
]
约束条件为 (2x_1 + 4x_2 \leq 7) 和 (-3x_1 + x_2 \leq 3)，起始点 (x_0 = [0, 0])。可以使用 fmincon 函数来解决这个问题，具体代码如下：

f = @(x) (x(1)-1/2)^2*(x(1)+1)^2 + 2*(x(2)+1)^2*(x(2)-1)^2;
A = [2 4;-3 1];
b = [7; 3];
x0 = [0 0];
[x fv] = fmincon(f, x0, A, b)

运行上述代码后，得到的结果为：

x =
    0.5000   -1.0000 
fv =
   2.8902e-16

4.3 极小极大解问题

考虑以下极小极大解问题：
[
\min_{x} \max_{i} f(x) = \frac{1}{(x - 0.3)^2 + 0.01} + \frac{1}{(x - 0.9)^2 + 0.04} - 5
]
起始点 (x_0 = 1)。可以使用 fminimax 函数来解决这个问题，具体代码如下：

f = @(x) 1/((x-0.3)^2+0.01) + 1/((x-0.9)^2+0.04) - 5;
x0 = 1;
[x,fv] = fminimax(f, x0)

运行上述代码后，得到的结果为：

x =
   2.2928e+07
fv =
   -5.0000

4.4 二次规划问题

考虑以下二次规划问题：
[
\min_{x} f(x) = -4x_1 + x_1^2 - 2x_1x_2 + 2x_2^2
]
约束条件为 (2x_1 + x_2 \leq 6)，(x_1 - 4x_2 \leq 0)，(x_1 \geq 0)，(x_2 \geq 0)。可以使用 quadprog 函数来解决这个问题，具体代码如下：

H = [2 -2;-2 4];
c = [-4; 0];
A = [2 1;1 -4;-1 0;0 -1];
b = [6 0 0 0]'; 
[x,f] = quadprog(H, c, A, b)

运行上述代码后，得到的结果为：

x =
    2.4615
    1.0769
f =
   -6.7692

5. 线性和混合整数规划问题

5.1 linprog 函数

linprog 函数用于解决线性规划问题，其基本形式为：
[
\min_{x} f^T x
]
约束条件为 (Ax \leq b)，(Aeqx = beq) 和 (lb \leq x \leq ub)。基本语法如下：

[x, fv] = linprog(f, A, b, Aeq, Beq, lb, ub, x0)

其中，(fv) 是最优解处的函数值。

5.2 intlinprog 函数

intlinprog 函数用于解决混合整数线性规划问题，其基本形式为：
[
\min_{x} f^T x
]
约束条件为 (Ax \leq b)，(Aeqx = beq)，(lb \leq x \leq ub)，且 (x_i) 为整数。基本语法如下：

[x, fv] = intlinprog (f, intcon, A, b, Aeq, Beq, lb, ub)

其中， intcon 是包含整数变量的索引向量。

5.3 线性规划问题示例

考虑以下线性规划问题：
[
\min_{x} f(x) = -50x_1 - 98x_2 - 25x_3 - 43x_4
]
约束条件为 (6x_1 + 12x_2 + 3x_3 + 8x_4 \leq 1150)，(4x_1 + 30x_2 + 2x_3 + x_4 \leq 750)，(x_i \geq 0) ((i = 1, \ldots, 4))。可以使用 linprog 函数来解决这个问题，具体代码如下：

f = [-50 -98 -25 -43]'; 
A = [6 12 3 8;4 30 2 1;-1 0 0 0;0 -1 0 0;0 0 -1 0;0 0 0 -1];
b = [1150 750 0 0 0 0]';
[x, fv] = linprog (f, A, b)

运行上述代码后，得到的结果为：

Optimization terminated.
x =
  128.7717
   -0.0000
  115.5335
    3.8462
fv =
  -9.4923e+03

5.4 混合整数规划问题示例

考虑以下混合整数规划问题：
[
\min_{x} f(x) = -2x_1 - 3x_2
]
约束条件为 (4x_1 + 10x_2 \leq 45)，(4x_1 + 4x_2 \leq 23)，(x_i \geq 0) ((i = 1, 2))，且 (x_1) 和 (x_2) 为整数。可以使用 intlinprog 函数来解决这个问题，具体代码如下：

c = [-2 -3];
A = [4 10;4 4;-1 0;0 -1];
b = [45 23 0 0];
intcon = [1 2];
[x, fv] = intlinprog (c, intcon, A, b)

运行上述代码后，得到的结果为：

LP: Optimal objective value is -15.166667.                                           
Optimal solution found.
x =
    1.0000
    4.0000
fv =
   -14

6. 问题求解流程总结

以下是使用MATLAB解决优化问题的一般流程：
1. 定义目标函数 ：使用函数句柄定义需要优化的目标函数。
2. 确定约束条件 ：根据问题的实际情况，确定约束条件，并将其表示为矩阵形式。
3. 选择合适的优化函数 ：根据问题的类型（无约束优化、约束优化、线性规划、混合整数规划等）选择合适的优化函数。
4. 设置初始点和边界条件 ：根据问题的要求，设置初始点和变量的边界条件。
5. 调用优化函数求解 ：使用选择的优化函数求解问题，并得到最优解和最优值。

7. 优化问题求解流程

graph LR
    A[定义目标函数] --> B[确定约束条件]
    B --> C[选择合适的优化函数]
    C --> D[设置初始点和边界条件]
    D --> E[调用优化函数求解]
    E --> F[得到最优解和最优值]

8. 优化函数总结

优化函数	适用问题类型	基本语法
fminbnd	单变量无约束优化	[x,fv] = fminbnd(f, lb ,ub)
lsqlin	约束线性最小二乘问题	x = lsqlin(C, d, A, b, Aeq, beq, lb, ub, x0)
fmincon	多变量约束优化问题	[x, f] = fmincon(fun, x0, A, b, Aeq, Beq, lb, ub)
fminimax	多变量极小极大解问题	x = fminimax(fun, x0, A, b, Aeq, Beq, lb, ub)
quadprog	二次规划问题	[x, f] = quadprog(H, c, A, b, Aeq, beq, lb, ub, x0)
linprog	线性规划问题	[x, fv] = linprog(f, A, b, Aeq, Beq, lb, ub, x0)
intlinprog	混合整数线性规划问题	[x, fv] = intlinprog (f, intcon, A, b, Aeq, Beq, lb, ub)

通过以上介绍，我们可以看到MATLAB提供了丰富的优化函数来解决各种优化问题。在实际应用中，我们可以根据问题的具体情况选择合适的优化函数，并按照上述流程进行求解。

9. 其他优化方法及问题求解示例

9.1 不同优化方法概述

除了前面介绍的MATLAB内置优化函数，还有许多其他优化方法可用于解决各类优化问题，如斐波那契搜索法、黄金分割搜索法、布伦特搜索法等。下面将详细介绍这些方法的应用示例。

9.2 斐波那契搜索法示例

一个金属球在重力场 (g) 中，从高度 (h) 处以角度 (\theta) 和速度 (v) 相对于水平方向抛出，落地时的水平距离 (d) 由下式给出：
[d = \frac{v\sin\theta}{g}\left(\sqrt{\frac{2h}{g}+\left(\frac{v\sin\theta}{g}\right)^2}+\frac{v\sin\theta}{g}\right)\cos\theta]
使用斐波那契搜索法来找到使距离 (d) 最大的 (\theta) 以及最大距离 (d)。虽然文档中未给出具体代码，但一般步骤如下：
1. 定义目标函数：根据上述公式定义关于 (\theta) 的函数 (d(\theta))。
2. 确定搜索区间：例如给定 (a) 和 (b) 作为搜索区间。
3. 进行斐波那契搜索：通过不断缩小区间，找到使 (d(\theta)) 最大的 (\theta) 值。

9.3 黄金分割搜索法示例

一家公司计划借款 (S\times1000) 美元在未来 (n) 年内等额分期建设新工厂。利息率 (r_e = e_1 + e_2S)，资金再投资率为 (m_r)。预期未来回报的现值 (f_R) 和支付的现值 (f_P) 分别为：
[f_R = \frac{P}{e^R - 1}(1 - wS)]
[f_P = \frac{m_rS}{(m_r + r_e)^n - 1}\left((1 + r_e)^n + (1 + m_r)^n - 1\right)]
利润 (F = f_R - f_P)，使用黄金分割搜索法确定借款金额 (S) 以使利润 (F) 最大。步骤如下：
1. 定义目标函数：根据上述公式定义关于 (S) 的函数 (F(S))。
2. 确定搜索区间：根据实际情况确定 (S) 的取值范围。
3. 进行黄金分割搜索：不断缩小区间，找到使 (F(S)) 最大的 (S) 值。

9.4 布伦特搜索法示例

使用布伦特搜索法找到函数 (f(x) = 87.5(1 - x^3)^2 + (1 - x^2) + 3(1 - x)^2) 的最小值。初始点 (x_1 = 0.01)，步长 (h = 0.2)，停止准则为 (1\times10^{-6})。代码示例如下：

% 定义目标函数
f = @(x) 87.5*(1 - x^3)^2 + (1 - x^2) + 3*(1 - x)^2;
% 初始点
x1 = 0.01;
% 步长
h = 0.2;
% 停止准则
tol = 1e-6;
% 调用布伦特搜索法求解（假设存在相应函数）
[x_min, f_min] = brent_search(f, x1, h, tol);

9.5 舒伯特 - 皮亚夫斯基方法示例

使用舒伯特 - 皮亚夫斯基方法找到函数 (f(x) = \sum_{j = 1}^{5}(j + 1)\sin(x + j)) 的最大值。初始区间为 ([-10, 10])，利普希茨常数 (C = 80)，停止准则为 (1\times10^{-6})，最大函数评估次数为 (2000)。代码示例如下：

% 定义目标函数
f = @(x) sum((1:5 + 1).*sin(x + (1:5)));
% 初始区间
a = -10;
b = 10;
% 利普希茨常数
C = 80;
% 停止准则
tol = 1e-6;
% 最大函数评估次数
max_evals = 2000;
% 调用舒伯特 - 皮亚夫斯基方法求解（假设存在相应函数）
[x_max, f_max] = shubert_piyavskii(f, a, b, C, tol, max_evals);

9.6 最速下降法示例

使用最速下降法找到函数 (f(x) = \frac{1}{2}x_1^2 - x_1x_2 + x_2^2 - 4x_1) 的最小值。初始点为 ([0, 0])，初始步长 (\alpha_0 = 2)，停止准则为 (1\times10^{-6})，最大函数评估次数为 (10000)。代码示例如下：

% 定义目标函数
f = @(x) 0.5*x(1)^2 - x(1)*x(2) + x(2)^2 - 4*x(1);
% 初始点
x0 = [0, 0];
% 初始步长
alpha0 = 2;
% 停止准则
tol = 1e-6;
% 最大函数评估次数
max_evals = 10000;
% 调用最速下降法求解（假设存在相应函数）
[x_min, f_min] = steepest_descent(f, x0, alpha0, tol, max_evals);

9.7 牛顿法示例

使用牛顿法找到函数 (f(x) = \frac{1}{2}(x_1 - 2)^2 - x_1x_2 + \frac{1}{2}(x_2 - 4)^2) 的最小值。初始点为 ([0, 0])，停止准则为 (1\times10^{-6})，最大函数评估次数为 (1000)。代码示例如下：

% 定义目标函数
f = @(x) 0.5*(x(1) - 2)^2 - x(1)*x(2) + 0.5*(x(2) - 4)^2;
% 初始点
x0 = [0, 0];
% 停止准则
tol = 1e-6;
% 最大函数评估次数
max_evals = 1000;
% 调用牛顿法求解（假设存在相应函数）
[x_min, f_min] = newton_method(f, x0, tol, max_evals);

9.8 共轭梯度法示例

使用共轭梯度法找到伍德函数 (f(x) = 100(x_2 - x_1^2)^2 + (1 - x_1)^2 + 90(x_4 - x_3^2)^2 + (1 - x_3)^2 + 10(x_2 + x_4 - 2)^2 + 0.198(x_2 - x_4)^2) 的最小值。初始点为 ([-3, -1, -3, -1])，初始步长 (\alpha_0 = 2)，停止准则为 (1\times10^{-6})，最大函数评估次数为 (10000)。代码示例如下：

% 定义目标函数
f = @(x) 100*(x(2) - x(1)^2)^2 + (1 - x(1))^2 + 90*(x(4) - x(3)^2)^2 + (1 - x(3))^2 + 10*(x(2) + x(4) - 2)^2 + 0.198*(x(2) - x(4))^2;
% 初始点
x0 = [-3, -1, -3, -1];
% 初始步长
alpha0 = 2;
% 停止准则
tol = 1e-6;
% 最大函数评估次数
max_evals = 10000;
% 调用共轭梯度法求解（假设存在相应函数）
[x_min, f_min] = conjugate_gradient(f, x0, alpha0, tol, max_evals);

9.9 大卫 - 弗莱彻 - 鲍威尔（DFP）方法示例

使用DFP方法找到罗森布罗克函数 (f(x) = 100(x_2 - x_1^2)^2 + (1 - x_1)^2) 的最小值。初始点为 ([-1.2, 1])，初始步长 (\alpha_0 = 1)，停止准则为 (1\times10^{-6})，最大函数评估次数为 (1000)。代码示例如下：

% 定义目标函数
f = @(x) 100*(x(2) - x(1)^2)^2 + (1 - x(1))^2;
% 初始点
x0 = [-1.2, 1];
% 初始步长
alpha0 = 1;
% 停止准则
tol = 1e-6;
% 最大函数评估次数
max_evals = 1000;
% 调用DFP方法求解（假设存在相应函数）
[x_min, f_min] = DFP_method(f, x0, alpha0, tol, max_evals);

9.10 其他优化问题求解示例

文档中还给出了许多其他优化问题的求解示例，如使用不同方法求解约束最小化问题、线性规划问题、混合整数规划问题等，具体问题和求解方法如下表所示：
| 问题类型 | 目标函数 | 约束条件 | 求解方法 |
| — | — | — | — |
| 线性规划问题 | (f(x) = -50x_1 - 98x_2 - 25x_3 - 43x_4) | (6x_1 + 12x_2 + 3x_3 + 8x_4 \leq 1150)，(4x_1 + 30x_2 + 2x_3 + x_4 \leq 750)，(x_i \geq 0) ((i = 1, \ldots, 4)) | linprog 函数 |
| 混合整数规划问题 | (f(x) = -2x_1 - 3x_2) | (4x_1 + 10x_2 \leq 45)，(4x_1 + 4x_2 \leq 23)，(x_i \geq 0) ((i = 1, 2))，(x_1) 和 (x_2) 为整数 | intlinprog 函数 |
| 约束最小化问题 | (f(x) = -x_1x_2x_3) | (0 \leq x_1 + 2x_2 + x_3 \leq 70)，(0 \leq x_1, x_2, x_3 \leq 40) | 罗森梯度投影法 |
| 约束最小化问题 | (f(x) = -(1.2x_1 + 3x_2)) | (x_1^2 + x_2^2 \leq 6)，(1 \leq x_1 \leq 10)，(0 \leq x_2 \leq 10) | 广义简约梯度法 |
| 约束最小化问题 | (f(x) = x_1^2 + x_2^2) | (x_1^2 + x_2^2 = 9)，(1 \leq x_1 \leq 5)，(2 \leq x_2 \leq 4) | 序列二次规划法 |

10. 补充程序：计算水和蒸汽的物理性质

文档还提供了一些MATLAB程序用于计算水和蒸汽的物理性质，使用了IAPWS - IF97公式。主要函数如下：
- propPT.m ：根据压力 (P)、温度 (T) 和区域 (rg) 计算水和蒸汽的体积 (v)、内能 (u)、熵 (s) 和焓 (h)。

function [P,T,v,u,s,h] = propPT(P,T,rg)
% input
%    P: pressure(MPa)
%    T: temperature(K)
%    rg: region(1, 2, 4)
% output
%    P: pressure(MPa)
%    T: temperature(K)
%    v: volume
%    u: internal energy
%    s: entropy
%    h: enthalpy
R = 0.461526;
switch rg
     case {1,4}
          Ps = P/16.53; tau = 1386/T;  % P*=16.53MPa, T*=1386K
          v = (Ps*rg1dgdp(Ps,tau)*R.* T)/(P*10^3);
          u = (tau*rg1dgdT(Ps,tau)-Ps* rg1dgdp(Ps,tau))*R*T;
          s = (tau*rg1dgdT(Ps,tau) - rg1eqn(Ps,tau))*R;
          h = (tau*rg1dgdT(Ps,tau))*R*T;
     case 2
          Ps = P/(1); tau = 540/T;
          [g0,gPs0,gr,gPsr,gt0,gtr] = rg2eqn(Ps,tau);
          v = Ps*(gPs0+gPsr)*R*T/(P*10^3);
          u = R*T*(tau*(gt0+gtr) - Ps*(gPs0+gPsr));
          s = R*(tau*(gt0+gtr) - (g0+gr)); h = tau*(gt0+gtr)*R*T;
     otherwise
          P = 0;T = 0;v = 0;u = 0;s = 0;h = 0;
end
end

• rg1dgdp.m ：对区域1的基本方程关于 (P/P^*) 求偏导数。

function dgdpt = rg1dgdp(Ps,tau)
% differentiate the basic equation for region 1 (g/RT) with respect to P/P*
% input
%    Ps: P/P* (P*=16.53MPa), tau: T*/T (T*=1386K)
% output
%    dgdp: results of differentiation
% Parameters of the basic equation of region 1 (Ii, Ji and ni)
% i ranges from 1 to 34
[I,J,n] = rg1IJn;
% perform differentiation
ind = 1:34; dgdpt = sum(-n(ind).*I(ind).*(7.1-Ps).^(I(ind)-1).*(tau-1.222).^J(ind));
end

• rg1dgdT.m ：对区域1的基本方程关于 (T^*/T) 求偏导数。

function dgdT = rg1dgdT(Ps,tau)
% differentiate the basic equation for region 1 (g/RT) with respect to T*/T
% input
%    Ps: P/P* (P*=16.53MPa), tau: T*/T (T*=1386K)
% output
%    dgdT: results of differentiation
% Parameters of the basic equation of region 1 (Ii, Ji and ni)
% i ranges from 1 to 34
[I,J,n] = rg1IJn;
% perform differentiation
ind = 1:34; dgdT = sum(n(ind).*(7.1-Ps).^I(ind).*J(ind).*(tau-1.222).^(J(ind)-1));
end

• rg1eqn.m ：计算区域1的基本方程。

function gfe = rg1eqn(Ps,tau)
% Calculation of the basic equation for region 1
% input
%    Ps: P/P* (P*=16.53MPa)
%    tau: T*/T (T*=1386K)
% output
%    gfe: Gibbs free energy (dimensionless)
% Parameters of the basic equation of region 1 (Ii, Ji and ni)
% i ranges from 1 to 34
[I,J,n] = rg1IJn;
% Calculation of dimensionless Gibbs free energy
ind = 1:34; gfe = sum(n(ind).*(7.1 - Ps).^I(ind).*(tau - 1.222).^J(ind));
end

• rg2eqn.m ：计算区域2的基本方程。

function [g0,gPs0,gr,gPsr,gt0,gtr] = rg2eqn(Ps,tau)
% Calculation of the basic equation for region 2
% input
%    Ps: P/P* (P*=1MPa), tau: T*/T (T*=540K)
% output
%    g0: ln(pi) + sum(n_i^o*tau^Ji0)
%    gPs0: 1/pi + 0
%    gr: gamma^r
%    gPsr: partial differentiation of gamma^r with respect to pi
%    gt0: gamma_tau^o
%    gtr: partial differentiation of gamma^r with respect to tau
% Parameters of the basic equation of region 2 (Ii, Ji and ni)
% J0,n0: ideal gas part (o)
% I,J,n: residual part (r) (i ranges from 1 to 43)
[J0,n0,I,J,n] = rg2IJn; ind1 = 1:9; ind2 = 1:43;
g0 = log(Ps) + sum(n0(ind1).*(tau).^J0(ind1)); % gamma_0
gPs0 = 1/Ps + 0;
gr = sum(n(ind2).*(Ps).^I(ind2).*(tau- 0.5).^J(ind2)); % gamma^r
gPsr = sum(n(ind2).*I(ind2).*(Ps).^(I(ind2)-1).*(tau-0.5).^J(ind2));
gt0 = 0 + sum(n0(ind1).*J0(ind1).*(tau).^(J0(ind1)-1));  % gamma_tau^0
gtr = sum(n(ind2).*(Ps).^(I(ind2)).*J(ind2).*(tau-0.5).^(J(ind2)-1));
end

• rg1IJn.m 和 rg2IJn.m ：分别定义区域1和区域2基本方程的参数。

11. 总结

本文详细介绍了使用MATLAB解决优化问题的各种方法，包括无约束优化和约束优化，以及线性规划和混合整数规划问题。同时，还提供了一些其他优化方法的示例，如斐波那契搜索法、黄金分割搜索法等。此外，还给出了计算水和蒸汽物理性质的补充程序。在实际应用中，我们可以根据问题的具体情况选择合适的优化方法和函数，并按照一般流程进行求解。

12. 优化问题求解流程总结

graph LR
    A[定义目标函数] --> B[确定约束条件]
    B --> C[选择合适的优化方法]
    C --> D[设置初始条件和参数]
    D --> E[调用优化函数或方法求解]
    E --> F[得到最优解和最优值]
    F --> G[验证结果的合理性]

13. 优化方法总结

优化方法	适用问题类型	特点
斐波那契搜索法	单变量优化问题	通过斐波那契数列缩小区间，找到最优解
黄金分割搜索法	单变量优化问题	利用黄金分割比例缩小区间，找到最优解
布伦特搜索法	单变量优化问题	结合了黄金分割搜索法和抛物线插值法，效率较高
最速下降法	多变量无约束优化问题	沿着目标函数的负梯度方向搜索最优解
牛顿法	多变量无约束优化问题	利用目标函数的二阶导数信息，收敛速度快
共轭梯度法	多变量无约束优化问题	避免了计算二阶导数，收敛速度较快
大卫 - 弗莱彻 - 鲍威尔（DFP）方法	多变量无约束优化问题	拟牛顿法，通过迭代更新近似海森矩阵
罗森梯度投影法	约束最小化问题	处理有约束的优化问题
广义简约梯度法	约束最小化问题	处理有约束的优化问题
序列二次规划法	约束最小化问题	处理有约束的优化问题
linprog 函数	线性规划问题	MATLAB内置函数，求解线性规划问题
intlinprog 函数	混合整数线性规划问题	MATLAB内置函数，求解混合整数线性规划问题
lsqlin 函数	约束线性最小二乘问题	MATLAB内置函数，求解约束线性最小二乘问题
fmincon 函数	多变量约束优化问题	MATLAB内置函数，求解多变量约束优化问题
fminimax 函数	多变量极小极大解问题	MATLAB内置函数，求解多变量极小极大解问题
quadprog 函数	二次规划问题	MATLAB内置函数，求解二次规划问题