11、二元Bent函数的Gibbs特征分析

二元Bent函数的Gibbs特征分析

1. 引言

在数字信号处理和密码学等领域，Bent函数具有重要的研究价值。而Gibbs二元导数为研究Bent函数提供了新的视角和方法。本文将详细探讨Bent函数的Gibbs二元导数的性质、如何利用其判断函数是否为Bent函数，以及Gibbs置换矩阵的相关内容。

2. Bent函数的Gibbs二元导数的性质

Bent函数的Gibbs二元导数具有一些独特的性质，这些性质对于理解Bent函数的结构和在置换矩阵中的应用具有重要意义。

2.1 基本性质

除了Gibbs二元系数的绝对值是Gibbs特征值集合中的整数这一性质外，与置换矩阵相关的主要特征如下：
1. 符号不变性 ：在((0, 1) \to (1, -1))编码中，Gibbs导数不改变Bent函数值的符号。这一特征在示例3.1及其Gibbs二元导数中可以很容易地观察到。
2. 互补性 ：函数(f)及其逻辑补(\overline{f})的Gibbs系数绝对值相同，符号相反。即如果(f)的第(i)个Gibbs系数值为(d_i = r)，那么(\overline{f})的相应Gibbs系数值为(\overline{d}_i = -r)。示例3.1中的函数也说明了这一特征。
3. 系数和相等性 ：正Gibbs系数的和等于负Gibbs系数的和，且其值为((2^n - 1)(2^{n - 2}))。对于(n = 4)和(n = 6)的示例，正、负Gibbs系数的和分别为60和1008，这很容易验证。