Bent函数的基本性质

第5章 Bent函数的性质

引言

本章讨论了Bent函数的一些基本性质。第一条是对Bent函数次数的限制：若f是n变量的弯曲函数，则 2 ≤ deg(f) ≤ n/2。第二条是，一个与Bent函数扩展仿射等价的布尔函数也是弯曲的。定义了对偶弯曲函数；给出了Bent函数与其对偶函数在次数及代数标准型系数之间的关系。还提到，Bent函数是非退化函数。

5.1 Bent函数的次数

在下文中，设n为偶数。弯曲函数的以下性质非常重要，并在证明弯曲函数的许多结果中起着关键作用[318]。根据Kuz’min等人[221]所述，该性质早在1962年由V.A. Eliseev和O.P. Stepchenkov确立。

定理16。 一个n个变量的Bent函数f的次数deg(f)不超过n/2。如果n = 2，则Bent函数是二次的。

可以在Cusick和Stănică的著作[96]中找到这一事实的简单证明。

显然，次数小于或等于1的布尔函数不可能是弯曲的。容易看出，当n为偶数时，从2到n/2的所有其他可能次数都存在弯曲函数（只需使用Maiorana‐McFarland构造即可；参见定理34）。例如，对于任意偶数n，
二次布尔函数f(x₁, …, xₙ) = x₁x₂ ⊕ x₃x₄ ⊕ ⋯ ⊕ xₙ₋₁xₙ是Bent函数。

注意，2004年侯[171]确定了p元弯曲函数的界——即他证明了如果f是n个变量上的p元弯曲函数（p为素数），则deg(f) ≤ (p−1)n/2 + 1。此外，如果f是弱正则的，则deg(f) ≤ (p−1)n/2。必要的定义和细节见第15.2节和第15.3节。

5.2 幺函数的仿射变换

回想一下，n个变量中的布尔函数f和g被称为仿射等价，如果存在一个非退化仿射变换将其中一个布尔函数映射到另一个。换句话说，当且仅当存在一个非奇异的n × n矩阵A和一个长度为n的向量b，使得对于每个x ∈ F₂ⁿ都有g(x) = f(Ax ⊕ b)时，f和g是仿射等价的。

布尔函数f和g在n个变量上是扩展仿射等价（或EA等价）的，如果存在一个非退化仿射变量变换，使得其中一个布尔函数在加上一个仿射函数后可映射到另一个布尔函数。因此，f和g是扩展仿射等价的，当且仅当存在一个非奇异的n×n矩阵A，长度为n的向量b和c，以及一个常数λ ∈ F₂，使得
g(x) = f(Ax ⊕ b) ⊕ ⟨c, x⟩ ⊕ λ 对于每个x ∈ F₂ⁿ成立。

在文献中，这种等价通常也称为“仿射等价”。

回想一下，在下文中，等价的布尔函数指的是扩展仿射等价的函数，除非另有说明。

注意，函数的次数在仿射等价和扩展仿射等价下是不变量。

很容易证明以下这个非常重要的事实：

定理17. 设f是n个变量上的一个Bent函数。那么
(1) 一个布尔函数f(Ax ⊕ b)是弯曲的，其中A是一个在F₂上的n×n可逆矩阵，b是一个长度n的任意向量；
(2) 对于任意仿射函数ℓ，函数f ⊕ ℓ都是弯曲的。

因此，类Bₙ在任意非退化仿射变换和任意仿射布尔函数的加法下封闭。换句话说，每个通过仿射等价扩展的布尔函数如果是Bent函数，则该函数也是Bent函数。

由于类Bₙ在扩展仿射等价下封闭，因此产生了弯曲函数的扩展仿射分类问题。

根据蔡斯等人[82]（另见狄龙[107]），以下定理成立：

定理18。 任何n个变量的二次弯曲函数都扩展仿射等价于函数x₁x₂ ⊕ x₃x₄ ⊕ ⋯ ⊕ xₙ₋₁xₙ。

对于次数大于或等于3的弯曲函数，其扩展仿射分类问题仍然是开放的。在第7章中可以找到针对较小n的分类结果。布尔函数的等价问题由切列穆申金[87]进行了更详细的讨论。

5.3 弯曲的函数的秩

让我们给出一些必要的概念。一个具有参数(v, k, λ)的设计（或区组方案）是指一个由v‐元素集合的k‐元素子集（区组）构成的系统，使得任意一对不同的元素恰好包含在λ个区组中。如果一个设计的区组数目等于元素数目，则称其为对称设计。已知（见定理27），一个n元布尔函数f是弯曲的当且仅当集合族D_z = D ⊕ z，其中z ∈ F₂ⁿ⁺¹且D = {(x, f(x)) | x ∈ F₂ⁿ}，构成一个具有参数(2ⁿ⁺¹, 2ⁿ, 2ⁿ⁻¹)的对称设计。

那么，Bent函数的秩可以定义如下：Bent函数rank是指相应设计的关联矩阵的秩。回顾一下，对称设计的incidence matrix A = (aᵢⱼ)是一个v × v阶二元矩阵，其行和列分别以区组和元素为索引，且当元素j属于第i个区组时，其元素aᵢⱼ为1，否则为0。

2007年，王等人[377]证明了弯曲函数的秩在等价下不变。他们提出了关于弯曲函数（一般情况）、Maiorana‐McFarland弯曲函数以及部分散布弯曲函数的秩的上下界。由此，在[377]中证明了几乎所有的笛沙格部分散布弯曲函数都不等价于任何Maiorana‐McFarland弯曲函数。

随后，在2008年，王等人[376]研究了Maiorana‐McFarland弯曲函数的秩。给出了秩的上下界，并确定了达到这些秩界限的Bent函数。由此推导出某些弯曲函数的非等价性。

5.4 对偶Bent函数

对于一个Bent函数f，其在n个变量中的对偶函数$\tilde{f}$由以下等式定义
$$
W_f(y) = 2^{n/2}(-1)^{\tilde{f}(y)}.
$$
该定义是正确的，因为对于任意向量$y$，有$W_f(y) = \pm 2^{n/2}$。不难证明函数$\tilde{f}$也是一个Bent函数。成立的是$\tilde{\tilde{f}} = f$。

若$\deg(f) = n/2$，则$\deg(\tilde{f}) = n/2$。一般来说，Bent函数与其对偶的次数之间存在以下关系：[46]

定理20。 设f是n个变量上的任意一个Bent函数。那么，
$$
n/2 - \deg(f) \leq n/2 - \deg(\tilde{f}) \leq \deg(\tilde{f}) - 1.
$$

关于Bent函数及其对偶的代数正规形（ANF）系数的以下事实，在证明有关弯曲函数的结果中也非常重要。其证明可在[96, 引理5.17]中找到。

定理21. 设f是n个变量中的Bent函数，$n \geq 4$。那么，
$$
\sum_{x \preceq y} f(x) = 2^{\mathrm{wt}(y)-1} - 2^{(n/2)-1} + 2^{\mathrm{wt}(y) - n/2} \sum_{x \preceq y \oplus 1} \tilde{f}(x).
$$

2013年，Çeşmelioğlu等人[73]研究了关于对偶于p进制Bent函数的函数的“弯曲性”问题；参见第15.2节。一些特殊构造的Bent函数的对偶函数性质已被多位作者研究。Budaghyan等人[26]和Carlet等人[62]研究了对偶于Niho函数的Bent函数，而Langevin和Leander[226]研究了对偶于Kasami Bent函数的Bent函数。

自对偶Bent函数（满足$f = \tilde{f}$）和反对偶弯曲函数（满足$f = \tilde{f} \oplus 1$）将在第16.5节中讨论。

5.5 其他性质

由Bent函数的定义，可直接得出以下定理：

定理22. 每个n个变量的Bent函数都具有汉明重量$2^{n-1} \pm 2^{(n/2)-1}$。

根据定理17，如果f是弯曲的，则$f \oplus 1$也是弯曲的。因此，所有弯曲函数可以分为两部分：一部分是重量为$2^{n-1} - 2^{(n/2)-1}$的弯曲函数，另一部分是其重量为$2^{n-1} + 2^{(n/2)-1}$的否定。

一个n变量的布尔函数f具有退化的（虚拟的）变量$x_i$，如果对于任意向量$b \in \mathbb{F}_2^n$都有$f(b) = f(b \oplus e_i)$成立，其中$e_i$是重量1的向量，其第i个坐标非零。换句话说，如果一个变量未出现在f的代数正规形中，则该变量是虚拟变量。若一个布尔函数没有虚拟变量，则称其为非退化的。

定理23. n元Bent函数是非退化的，即其代数正规形中包含所有变量。

让我们提及一些与Bent函数的性质相关的论文。
2000年，侯[170]证明了二元Bent函数在其多项式表示中系数的2-adic不等式。
2012年，格鲁霍夫和扎克列夫斯基[139]引入并研究了有限群上的函数的可加性系数和亲和性。特别是，他们考虑了这些系数在弯曲函数中的应用。
其他一些性质可以在张和吕[392]，以及张等人[395]的论文中找到。

苏联莫斯科，20世纪60年代