21、一类四元Bent函数的Gibbs特征及构造方法

一类四元Bent函数的Gibbs特征及构造方法

1. 引言

在布尔函数的研究领域中，Bent函数因其独特的性质和在密码学等领域的重要应用而备受关注。本文将详细介绍一类四元Bent函数的构造方法，特别是通过置换矩阵组合的方式来构建广义布尔Bent函数。

2. 新广义布尔Bent函数的构造

我们可以构造一个新的广义布尔Bent函数，其函数向量表示如下：
(\mathbf{F} {newperm} = [2, 3, 0, 3, 2, 0, 0, 0, 0, 1, 2, 1, 2, 0, 0, 0]^T)
经过编码后，函数向量变为：
(\mathbf{F} {newpermi} = [-1, -i, 1, -i, -1, 1, 1, 1, 1, i, -1, i, -1, 1, 1, 1]^T)
其Walsh谱为：
(\mathbf{S}_{f newperm} = [4, -4, -4, -4, -4, 4, 4, 4, -4i, 4i, -4, -4, -4i, 4i, -4, -4]^T)
从Walsh谱可以判断该函数是Bent函数。由于只是进行了置换操作，初始函数和构造的广义布尔Bent函数的函数值分布保持不变。

3. 通过置换矩阵组合构造Bent函数

另一种构造Bent函数的方法是通过置换矩阵的组合，具体步骤如下：
1. 函数表示 ：将已知的广义布尔函数(f(x, y))表示为(f(x, y) = 2b(x, y) + c(x, y))，其中(b(x, y))和(c(x, y))是关于(2n)个变量的函