10、二元Bent函数的Gibbs特征

二元Bent函数的Gibbs特征

1. 引言

在研究二元Bent函数时，我们可以通过二元Gibbs导数来对其进行特征描述。Bent函数的定义与平坦的Walsh谱相关，而二元Gibbs导数是以Walsh函数为特征函数的算子。这就引发了一个有趣的问题：能否用这个微分算子来描述Bent函数呢？

2. 相关定义与陈述

2.1 Bent函数的判定陈述

对于一个具有 $n$ 个变量的开关函数 $f$（$n$ 为偶数），如果表示其二元Gibbs导数 $f^{[1]}(x)$ 的向量 $\mathbf{D}_f$ 的元素绝对值互不相同，且等于集合 $G = {0, 1, 2, \cdots, 2^n - 1}$ 中的元素，那么函数 $f$ 就是Bent函数。换句话说，若函数 $f$ 的二元Gibbs导数的绝对值等于该导数的特征值（允许排列不同），则 $f$ 为Bent函数。

2.2 引理

Bent函数的Gibbs系数的绝对值是Gibbs导数的特征值。

需要注意的是，Gibbs导数可以表示为偏Gibbs导数的加权和。因此，Gibbs系数的二进制表示 $r = (r_1, r_2, \cdots, r_n)$ 中坐标 $r_i$ 的值由相应的偏导数决定。整数二进制表示中的坐标 $r_i$ 是平衡函数。所以，考虑到Gibbs导数是根据偏Gibbs导数计算的，Bent函数的Gibbs特征可以看作是这样一个性质的表达：对于任意长度为 $n$ 的非零向量 $\mathbf{a}$，布尔差分 $D_{\mathbf{a}}f(x) = f(x) \oplus f(x \oplus \mathbf{a})$（其中 $x