18、一类四元Bent函数的Gibbs特征化

一类四元Bent函数的Gibbs特征化

1. 四元Bent函数与二元、三元Bent函数的差异

在研究Bent函数时，二元Bent函数和p > 2时的Bent函数存在明显差异。二元Bent函数被定义为最大非线性的二元函数，但对于p取其他值（包括p = 4）时，这一特征未必成立。存在非最大非线性的四元Bent函数，也有非Bent的最大非线性四元函数。

四元函数通常定义为 ( f: \mathbb{Z}_4^n \to \mathbb{Z}_4 )，其中 ( \mathbb{Z}_4 ) 是小于4的非负整数环。函数及其变量可取0、1、2、3这四个值。在处理这些函数时，先将其值进行复数编码 ( (0, 1, 2, 3) \to (1, i, -1, -i) )，再使用Vilenkin - Chrestenson变换。

下面通过具体例子说明四元Bent函数与二元、三元Bent函数的差异。

2. 示例分析

当n = 2时，考虑以下两个函数：
- ( f_{pGF}(x_1, x_2) = x_1x_2 )
- ( f_{sGF}(x_1, x_2) = x_1^2 \oplus x_2^2 )

这里的运算在 ( GF(4) ) 中进行。这两个函数并非当前讨论意义下的Bent函数。其函数向量分别为：
- ( \mathbf{F} {pGF} = [0, 0, 0, 0, 0, 1, 2, 3, 0, 2, 3, 1, 0, 3, 1, 2]^T )
- ( \mathbf{F} {sGF} = [0, 1, 3, 2, 1, 0, 2, 3, 3, 2, 0, 1