31、利用类FFT置换矩阵和Gibbs矩阵构造二元Bent函数

oo7890

于 2025-09-09 15:08:21 发布

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分类专栏： Bent函数与密码学之美文章标签： Bent函数类FFT置换矩阵 Gibbs矩阵

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利用类FFT置换矩阵和Gibbs矩阵构造二元Bent函数

1. 利用类FFT置换矩阵构造二元Bent函数

在构造二元Bent函数时，类FFT置换矩阵发挥着重要作用。通过一些示例所展示的方法，我们可以直接制定一个算法，用于构造具有选定变量数量和指定非零值数量的Bent函数。

首先，需要为指定的变量数量 $n$ 确定一个类FFT置换矩阵库 $\mathcal{L}$。以下是具体的算法步骤：
- 算法8.1（FFT - 置换矩阵）
1. 给定一个具有选定非零值数量的任意Bent函数 $f$。
2. 对 $f$ 应用一个类FFT置换矩阵，并将结果写入一个列表。
3. 针对来自矩阵库 $\mathcal{L}$ 的不同置换矩阵重复步骤2。
4. 检查每个生成的Bent函数是否已经包含在列表中。如果是（Yes），则跳过该函数并返回步骤2。

这个算法具有一些基本特性。该方法基于谱不变操作推导而来，这确保了生成的函数是Bent函数，因此无需检查其Bent性，简化了构造过程。直接实现谱不变操作需要计算Walsh谱，对谱系数子集执行谱不变操作，最后计算逆Walsh变换来确定以这种方式构造的函数。而在这个算法中，置换是在原始域中进行的，因此不需要计算Walsh谱和逆变换。此外，由于置换矩阵是从快速计算算法中的因子矩阵推导而来，并具有规则的Kronecker积结构，所以该算法的实现速度很快。

例如，对于函数 $f_{1,4,2,3}(x_1, x_2, x_3, x_4) = x_4 \oplus x_3x_4 \oplus x_2 \oplus x_1x_3 \oplus x_1x_2$，可以通过谱不变操作 $x_2 \to x_2 \oplus x_3$ 接着 $x_1 \to x_1 \oplus x_4$ 得到。同时，书中还给出了计算 $Q_{2,4}$、$Q_{4,2}$、$Q_{1,4,2,3}$ 等的流程图，这些流程图展示了函数向量在经过置换矩阵作用后的变换情况。

下面是一个简单的mermaid流程图，展示算法8.1的流程：

graph TD;
    A[给定任意Bent函数f] --> B[应用类FFT置换矩阵到f];
    B --> C[将结果写入列表];
    C --> D{是否还有不同置换矩阵};
    D -- 是 --> B;
    D -- 否 --> E{生成的函数是否在列表中};
    E -- 是 --> B;
    E -- 否 --> F[结束];

2. Gibbs矩阵和类FFT置换矩阵

Gibbs矩阵和类FFT置换矩阵都是 $(2^n \times 2^n)$ 置换矩阵的不同子集。它们的共同特点是都具有由 $(2 \times 2)$ 子矩阵组成的块结构，但这些子矩阵有所不同。在Gibbs矩阵中，子矩阵只有一个非零元素；而在类FFT置换矩阵中，有两个非零元素，并且包含 $(2 \times 2)$ 单位矩阵。

由于它们的块结构，Gibbs矩阵和类FFT置换矩阵都会对Bent函数的函数向量的子向量进行置换，同时也会对这些子向量中的元素进行置换，并且能够保持函数的Bent性。从谱不变操作的角度来看，这些矩阵执行不同的谱不变操作。Gibbs置换矩阵实际上执行两种谱不变操作：变量置换和变量取反；而类FFT置换矩阵不执行变量置换，根据其定义方式，可能执行变量取反或变量的谱平移。

因此，将这些矩阵应用于给定的Bent函数会产生其他Bent函数。不过，根据初始Bent函数中子向量的结构，应用Gibbs矩阵或类FFT置换矩阵可能会得到与初始函数相同的函数，或者不同的矩阵可能会产生相同的结果函数。也有可能特定的Gibbs矩阵和类FFT矩阵应用于同一个初始Bent函数会产生相同的函数。

以下是一个示例，给定一个Gibbs置换矩阵 $P_{Gibbs}$ 和一个类FFT置换矩阵 $P_{FFT}$ 用于四变量函数：

$P_{Gibbs} =
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \
0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \
0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \
0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \
\end{bmatrix}$

$P_{FFT} =
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \
0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \
0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \
0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \
\end{bmatrix}$

并且 $P_{FFT} = P_2 \cdot P_1$，其中：

$P_1 =
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \
0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \
0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \
0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \
\end{bmatrix}$

$P_2 =
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \
0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \
0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \
0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \
\end{bmatrix}$

矩阵 $P_1$ 和 $P_2$ 分别执行谱不变操作 $x_2 = x_2 \oplus x_3$ 和 $x_3 = x_3 \oplus x_2$。

将矩阵 $P_{Gibbs}$ 和 $P_{FFT}$ 应用于由函数表达式 $f = x_1x_2 \oplus x_3x_4 \oplus x_2x_4$ 和函数向量 $F = [0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 1]^T$ 指定的Bent函数，会产生相同的Bent函数 $f_1$，其函数向量为 $F_1 = [0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0]^T$，函数表达式为 $f_1 = x_1x_3 \oplus x_2x_4$。

下面通过表格对比Gibbs矩阵和类FFT置换矩阵的特点：
| 矩阵类型 | 子矩阵非零元素数量 | 谱不变操作 |
| ---- | ---- | ---- |
| Gibbs矩阵 | 1 | 变量置换、变量取反 |
| 类FFT置换矩阵 | 2 | 变量取反或谱平移 |

3. 矩阵应用示例及结果分析

为了更清晰地展示Gibbs矩阵和类FFT置换矩阵在构造Bent函数中的应用，我们继续分析将这两个矩阵应用于另一个Bent函数的情况。

将矩阵 $P_{Gibbs}$ 和 $P_{FFT}$ 应用于由函数表达式 $f_2 = x_1x_2 \oplus x_3x_4 \oplus x_4$ 和函数向量 $F_2 = [0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1]^T$ 指定的Bent函数。

以下是具体的操作步骤：
1. 定义Gibbs矩阵 $P_{Gibbs}$、类FFT置换矩阵 $P_{FFT}$ 以及Bent函数 $f_2$ 的函数向量 $F_2$。
2. 分别计算 $P_{Gibbs} \cdot F_2$ 和 $P_{FFT} \cdot F_2$，得到新的函数向量。
3. 根据新的函数向量确定对应的函数表达式。

通过计算，我们可以得到应用矩阵后的结果。这再次验证了不同的矩阵应用于同一个Bent函数可能会产生不同的结果，也可能产生相同的结果，具体取决于矩阵的结构和初始Bent函数的子向量结构。

下面是一个mermaid流程图，展示了矩阵应用于Bent函数的通用流程：

graph TD;
    A[定义Bent函数f和矩阵P] --> B[计算P * f的函数向量];
    B --> C[根据新函数向量确定函数表达式];
    C --> D{判断结果函数是否与初始函数相同};
    D -- 是 --> E[结果函数与初始函数相同];
    D -- 否 --> F[结果函数与初始函数不同];

4. 总结

综上所述，类FFT置换矩阵和Gibbs矩阵在构造二元Bent函数方面都具有独特的优势。类FFT置换矩阵通过其规则的Kronecker积结构，使得构造算法快速高效，并且无需计算Walsh谱和逆变换，简化了构造过程。而Gibbs矩阵和类FFT置换矩阵虽然都能保持函数的Bent性，但它们执行不同的谱不变操作，在应用于初始Bent函数时会产生不同的结果。

在实际应用中，我们可以根据具体需求选择合适的矩阵来构造Bent函数。例如，如果希望通过变量置换和取反来构造新的Bent函数，可以选择Gibbs矩阵；如果更倾向于利用变量的谱平移来构造函数，则可以考虑类FFT置换矩阵。

以下是一个简单的总结表格，对比了类FFT置换矩阵和Gibbs矩阵的优缺点：
| 矩阵类型 | 优点 | 缺点 |
| ---- | ---- | ---- |
| 类FFT置换矩阵 | 构造算法快速，无需计算Walsh谱和逆变换 | 不执行变量置换 |
| Gibbs矩阵 | 可执行变量置换和取反操作 | 构造过程可能相对复杂 |

通过合理运用这两种矩阵，我们可以更灵活地构造出满足不同需求的二元Bent函数，为相关领域的研究和应用提供有力支持。