12、在线算法中的装箱与服务器问题研究

在线算法中的装箱与服务器问题研究

在在线算法领域，在线装箱染色问题（Online Bin Coloring）和 k 服务器问题（k - Server Problem）是两个备受关注的问题。下面我们将深入探讨这两个问题的相关研究成果。

在线装箱染色问题

在线装箱染色问题（OlBcp）源于机器人装配环境中的应用。对于该问题，从竞争分析的角度进行研究，揭示了一些有趣的现象。

确定性算法的竞争比下限

有一个关键的声明：如果第 k 阶段以“标准结束”完成，那么 $\min P_{k + 1} > \min P_{k}$ 或者 $|P_{k + 1}| > |P_{k}|$。这个声明对于推导后续的引理结果至关重要。

从这个声明可以推出，对于固定的 $B$ 和 $q$，任何确定性算法的竞争比至少为 $(1 - \frac{q}{B + q})q$。在一般情况下，当对容量 $B$ 和箱子数量 $q$ 的关系没有限制时，不存在竞争比小于 $q$ 的确定性算法。即使在线算法被允许使用任意数量 $q’ \geq q$ 的开放箱子，上述结论仍然成立。

下面我们来看具体的证明思路：
- 情况 1 ：如果序列在第 k 阶段开始时因为算法将一个新物品放入了 $P_{k}$ 中的一个箱子而结束，那么 $\min_{b \in Q} n(b) > \min P_{k}$。在清理循环过程中，$\min_{b \in Q} n(b)$ 不会减小，并且 $P_{k + 1}$ 在清理循环的“标准结束”时以 $Q$ 的结果初始化，所以声明成立。
- 情况 2