38、量子物理中的时间相关微扰与原子辐射相互作用

量子物理中的时间相关微扰与原子辐射相互作用

1. 时间相关微扰与费米黄金规则

在量子物理的研究中，时间相关微扰是一个重要的概念。通过一系列的推导，我们得到了以下关键公式：
[
\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\sin^2 \left(\frac{(\omega - \omega_{fi}’)t}{2}\right)}{\left(\frac{\omega - \omega_{fi}’}{2}\right)^2} dE_f’ = \frac{\hbar^2}{t} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\sin^2 x}{x^2} dx = \frac{2\pi\hbar}{t}
]
由此得出：
[
P_{i \to f}^{(1)} = \frac{2\pi t}{\hbar} |\hat{W} {fi}|^2 \rho_f(E_f)
]
这个公式被称为费米黄金规则。我们关注的是跃迁速率（单位时间的概率），用 (w {if}) 表示。对上述公式求导可得：
[
w_{if} = \frac{dP_{i \to f}}{dt} = \frac{2\pi}{\hbar} |\hat{W} {fi}|^2 \rho_f(E_f)
]
不过，这个公式的有效性依赖于两个假设：
- 时间 (t) 要足够长，使得 (\frac{4\pi\hbar}{t}) 远小于 (\rho_f(E_f’)) 在 (E_f’ \approx E_f) 处的有效宽度 (\hbar\Delta\omega)，即 (\frac{4\pi}{\Del