39、时变微扰与原子辐射跃迁相关研究

时变微扰与原子辐射跃迁相关研究

1. 激发态寿命与跃迁概率

在实际研究中，人们通常用激发态的寿命 τ 而非跃迁概率 $A_{if}$ 来描述激发态。计算一个状态的寿命需要了解每个状态间的爱因斯坦系数。以氢的巴尔末系发射为例，这些发射最终终止于 $n = 2$ 态。根据选择规则，每条巴尔末线有三种允许的电偶极跃迁，因为较低能态为 $2s$ 和 $2p$。虽然 $Hα$ 和 $Hβ$ 各成分的波长由于精细结构修正略有不同，但这里忽略这些差异。

要计算氢的 $n = 3$ 态的寿命，需要对应三条 $Hα$ 线的三个 $A$ 系数，以及 $A_{3p→1s}$，因为 $3p → 1s$ 是 $3p$ 态原子的一个“逃逸”途径。实际上，由于公式 15.95 中的 $ω^3$ 因子，$A_{3p→1s}$ 比 $Hα$ 的三个自发跃迁速率中的任何一个都大。

2. 矩阵元计算

2.1 角积分推导

首先考虑 $ℓ→ℓ + 1$ 的跃迁。利用相关公式，对所有可能的 $m′$ 态求和，得到 $|r_{n′(ℓ + 1)m′}^{nℓm}|^2$ 的一般表达式：
[
|r_{n′(ℓ + 1)m′}^{nℓm}|^2 = \sum_{m′ = -(ℓ + 1)}^{(ℓ + 1)} |r_{n′(ℓ + 1)m′}^{nℓm}|^2 = \frac{1}{2} |(x + iy) {n′(ℓ + 1)(m + 1)}^{nℓm}|^2 + \frac{1}{2} |(x - iy) {n′(ℓ + 1)(m - 1)}^{nℓm}|^2 + |z_{n′(ℓ + 1)m}^{nℓm}|^2 = \left(\fr