47、量子力学中的微扰理论及相关应用

量子力学中的微扰理论及相关应用

在量子力学的研究中，微扰理论是一种非常重要的工具，它可以帮助我们处理复杂的线性系统，解决时间相关的运动方程。下面将详细介绍微扰理论的方法、库仑激发和和规则，以及原子在辐射场中的相关问题。

1. 微扰方法

时间相关微扰理论主要用于解决复杂的线性系统，它直接求解时间相关的运动方程，而不是时间无关的薛定谔方程。微扰 $V$ 可能与时间有关，也可能无关。

该理论的策略是假设 $V$ 很小，然后对公式 (19.11) 进行迭代。具体步骤如下：
1. 首先，在积分中代入 $T = 1$。
2. 将得到的近似 $T$ 再次代入被积函数，以此类推。

重复迭代的结果以 $V$ 的幂级数形式呈现：
[T(t, t_0) = 1 - i \int_{t_0}^{t} V(t’) dt’ + (-i)^2 \int_{t_0}^{t} V(t’) dt’ \int_{t_0}^{t’} V(t”) dt” + \cdots] (19.19)

如果任意终止这个幂级数，就可以得到运动方程的近似解。将 (19.19) 代入 (19.13) 的被积函数，可得到跃迁振幅的微扰展开式：
[(k| T(t, t_0)|s) = \delta_{ks} - \frac{1}{\hbar} \sum_{n} \int_{t_0}^{t} e^{i\omega_{ks}t’}(k| V(t’)|n) dt’ + (-\frac{1}{\hbar})^2 \sum_{n} \int_{t_0}^{t} dt’ e^{i\omega_{kn}t’}(k| V(t’)|n) \int_{t_0}^{t’} dt” e^