25、随机变量模拟与相关定理知识解析

随机变量模拟与相关定理知识解析

在随机变量的模拟和相关理论中，存在着多种分布和定理，它们在不同的领域有着广泛的应用。下面我们将详细介绍泊松分布、高斯分布、拒绝采样法、极坐标法，以及佩龙 - 弗罗贝尼乌斯定理和凹函数相关的知识。

1. 泊松分布模拟

泊松分布是一种常见的离散概率分布，用于描述在一定时间或空间内随机事件发生的次数。在模拟泊松分布时，我们可以根据以下原理进行操作。

已知(N(a) > n)当且仅当(S_n < a)，事件(P (N(a) = n))的概率为(P (N(a) = n) = P (N(a) \geq n) - P (N(a) \geq n + 1) = G(a) - G_1(a) = e^{-\alpha}\frac{\alpha^n}{n!})。为了进行模拟，我们利用(E = -\ln U)是参数为(1)的指数分布这一性质。当(S_n < a < S_{n + 1})时，等价于(U_1 \cdots U_n e^{\alpha} > U_1 \cdots U_{n + 1})。因此，我们不断生成(U)值，直到它们的乘积首次小于(e^{-\alpha})，并将最后一个索引设为(X)。对于较小的(\alpha)，这种方法速度较快；而对于较大的(\alpha)，需要生成大量的(U)值，此时其他方法可能更快。

以下是用Pascal语言实现的生成泊松变量的函数：

FUNCTION POISSON(alpha:REAL):INTEGER;
{returns a Poisson variable; the parameter alpha m