6、信号处理与随机过程基础解析

信号处理与随机过程基础解析

在信号处理和概率统计领域，有许多重要的概念和理论值得深入探讨。下面将详细介绍有限变换、随机变量等相关知识。

有限变换

在信号处理中，之前的计算通常假定信号 ( f ) 的支撑集是一个紧凑（有界）的区间。若不满足这一条件，就需要对信号 ( f ) 进行裁剪，用以下信号 ( h(x) ) 来替代：
[
h(x) =
\begin{cases}
f(x) & \text{如果 } x \in [a, b] \
0 & \text{如果 } x \notin [a, b]
\end{cases}
]
其中 ( a ) 和 ( b ) 需适当选取。基于此，有些文献将上述引入的傅里叶变换称为有限傅里叶变换。显然，除非信号本身就具有紧凑的支撑集，否则上述计算得到的傅里叶变换并非信号的真实傅里叶变换。

裁剪操作相当于将信号的空间域模型与一个脉冲函数相乘。这会在信号的频谱模型中引入高频成分。从感知角度来看，这些高频成分会在重建图像上产生振铃效应，这其实就是在截断傅里叶级数（频域裁剪）时出现的著名吉布斯现象在空间域的体现。

将信号裁剪到有限域的操作被称为加窗。关于如何选择合适的窗口以减轻上述问题，已有大量的相关文献进行研究。

下面是一个简单的流程图展示有限变换的过程：

graph TD;
    A[原始信号 f] --> B{支撑集是否紧凑};
    B -- 是 --> C[直接计算傅里叶变换];
    B -- 否 --> D[