15、样本因子分解与分析

样本因子分解与分析

1. 样本与因子矩阵的基本概念

在样本分析中，单个样本是样本矩阵 (S) 的行，而单个因子是因子矩阵 (F) 的行。这种排列方式虽然在文献中常见，但与通常仅使用列向量的约定有所不同。为处理这种符号上的不一致，我们继续使用列向量符号来表示单个样本 (s(i)) 和因子 (f(i))，并将 (S) 和 (F) 分别视为由 (s(i)^T) 和 (f(i)^T) 的行组成。

原本有 (N \times M) 个量的问题，通过因子分解转化为了 (N \times P + P \times M) 个量的问题。这种转化是否构成简化取决于 (P) 的值（即 (N \times P + P \times M) 与 (N \times M) 的大小比较）以及因子的物理解释。当因子具有特别有意义的解释时，例如在矿物分析中，我们可能愿意容忍参数数量的增加。

当因子矩阵 (F) 已知时，可以使用最小二乘法来确定系数 (C)。将方程 (S = CF) 转置为 (F^T C^T = S^T)，然后可将其转化为标准形式 (Gm = d)，其中 (d) 是 (S^T) 的给定列，(m) 是 (C^T) 的对应列，(G = F^T)。然而，在许多情况下，因子的数量 (P) 和因子矩阵 (F) 本身都是未知的。

因子的数量 (P) 没有上限，但通常最多需要 (P = M) 个因子来精确表示任何一组样本（即每个元素对应一个因子）。实际上，由于测量噪声的存在，确定 (P) 的最小值往往有些模糊。而且，如果近似 (S \approx CF) 足够好，我们可能会选择使用小于精确表示数据所需的 (P) 值。

即使指定了 (P)，确定 (C) 和 (F) 的过程仍然不