11、连续随机变量的期望值相关知识解析

连续随机变量的期望值相关知识解析

1. 引言

在概率论中，连续随机变量的期望值是一个重要概念。它的定义与离散随机变量期望值的讨论相呼应。基于连续随机变量的概率密度函数（PDF）描述，我们可以定义期望值并探索其性质。这一讨论在概念上与离散随机变量的情况相似，只是计算期望值的具体方法有所不同。

2. 连续随机变量期望值的确定

离散随机变量 (X) 的期望值定义为 (E[X] = \sum_{i}x_{i}p_{X}[x_{i}])，其中 (p_{X}[x_{i}]) 是 (X) 的概率质量函数（PMF），求和是对所有使 (p_{X}[x_{i}]) 非零的 (i) 进行。但对于连续随机变量，样本空间 (S_{X}) 不可数，该公式不再适用。

以 (X \sim U(0,1)) 为例，(X) 可以取区间 ((0,1)) 内的任意值，我们推测其平均值 (E[X] = 1/2)。为验证这一猜想，我们用均匀 PMF 近似均匀 PDF，对区间 ((0,1)) 进行精细划分。设 (x_{i}=i\Delta x)，(\Delta x = 1/M)，(i = 1,2,\cdots,M)，则 (E[X]=\sum_{i = 1}^{M}x_{i}p_{X}[x_{i}]=\sum_{i = 1}^{M}(i\Delta x)(\frac{1}{M}))。由于 (\sum_{i = 1}^{M}i = \frac{M}{2}(M + 1))，所以 (E[X]=\frac{1}{2}+\frac{1}{2M})。当 (M \to \infty) 时，(E[X] \to 1/2)。

推广到更一般的 PDF，我们发现 (E[X]=\sum_{i = 1}^{M}x