24、数据处理与分析中的关键概念与方法

数据处理与分析中的关键概念与方法

1. 数学推导与矩阵特性

1.1 级数推导

设 (z = \exp(2\pi i(p - q)/N))，考虑级数 (f(z)=\sum_{k = 0}^{N - 1}z^k = 1 + z+z^2+\cdots+z^{N - 1})。
将其两边同乘 (z) 可得 (zf(z)=\sum_{k = 0}^{N - 1}z^{k + 1}=z + z^2+\cdots+z^N)。
两式相减，除首尾项外其余项相消，得到 (f(z)-zf(z)=1 - z^N)，即 (f(z)=\frac{1 - z^N}{1 - z})。
将 (z = \exp(2\pi i(p - q)/N)) 代入，由于 (\exp(2\pi is)=1)（(s) 为整数，这里 (s = p - q)），分子为 (0)。当 (p\neq q) 时，分母不为 (0)，则 (f(z)=0)；当 (p = q) 时，分母也为 (0)，需用洛必达法则求极限，最终可得 (f(z)=N)，这表明 (G^*TG) 的对角元素都等于 (N)，非对角元素为 (0)。

1.2 奇异值分解

奇异值分解的推导需证明 (S^TS) 的特征值 (\lambda_i) 均为非负，这样 (S) 的奇异值（特征值的平方根）才为实数。考虑最小化问题 (E(m)=(d - Sm)^T(d - Sm))，这是 (G = S) 时的最小二乘问题。(E(m)) 是非负量，存在最小值点 (m_0)。在 (m_0) 附近，误差可表示为 (E(m)=E(m_0)+\Delta m^TS^TS\Delta m)，其中 (\Delta m=m - m_0)。令 (\Delta