第三章 微分中值定理与导数的应用 第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性

第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性

一、函数单调性的判定法

\quad 定理1 \quad 设函数 $y=f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，在 $(a,b)$ 内可导.
\quad (1) \quad 如果在 $(a,b)$ 内 $f^{\prime }(x)\ge 0,$ 且等号仅在有限多个点处成立，那么函数 $y=f(x)$在 $[a,b]$ 上单调增加.
\quad (2) \quad 如果在 $(a,b)$ 内 $f^{\prime }(x)\le 0,$ 且等号仅在有限多个点处成立，那么函数 $y=f(x)$在 $[a,b]$ 上单调减少.

二、曲线的凹凸性与拐点

\quad 定义 \quad 设$f(x)$ 在区间 $I$ 连续，如果对 $I$ 上任意两点 $x_1,x_2$ 恒有$$f\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)<\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2},$$那么称 $f(x)$ 在 $I$ 上的图形是(向上)凹的(或凹弧).

如果恒有$$f\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)>\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2},$$那么称 $f(x)$ 在 $I$ 上的图形是(向上)凸的(或凸弧).

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\quad 定理2 \quad 设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，在 $(a,b)$ 内具有一阶和二阶导数，那么
\quad (1)    \; 若在 $(a,b)$ 内 $f^{\prime \prime }(x)>0,$ 则 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的图形是凹的；
\quad (2)    \; 若在 $(a,b)$ 内 $f^{\prime \prime }(x)<0,$ 则 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的图形是凸的.

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习题 3-4