第二章 函数的导数 第四节 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率

第四节 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率

一、隐函数的导数

显函数：等号左端是因变量的符号，右端是含有自变量的式子，如 $y=\sin x$.
隐函数：方程 $x+y^3-1=0$ 表示一个函数，这样的函数称为隐函数.

把一个隐函数化成显函数，叫做隐函数的显化.

显化思路：

1. 方程左右两边相等，那么两边的导数也相等;
2. 方程左边求导可以化成含有 $\frac{\text{d}y}{\text{d}x}$ 的式子，而右边求导为 $0$;
3. 合并同类项后可得隐函数的导数 $\frac{\text{d}y}{\text{d}x}$.

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二、由参数方程所确定的函数的导数

参数方程

$$\begin{array}{c}\{\begin{array}{r}x=\phi (t),\\ y=\psi (t)\end{array}\end{array}$$

求导思路：

1. $x=\phi (t)$ 的反函数是 $t={\phi }^{-1}(x)$；
2. 函数 $y(x)$ 可看作 $y=\psi (t)$ 和反函数 $t={\phi }^{-1}(x)$的复合函数；
3. 反函数的导数是直接函数导数的倒数；复合函数求导公式也已知，即可完成 $y(x)$ 的求导.

即
$$\frac{\text{d}y}{\text{d}x}=\frac{\text{d}y}{\text{d}t}\cdot \frac{\text{d}t}{\text{d}x}=\frac{\text{d}y}{\text{d}t}\cdot \frac{1}{\frac{\text{d}x}{\text{d}t}}=\frac{{\psi }^{\prime }(t)}{{\phi }^{\prime }(t)}$$

也可

$$\frac{\text{d}y}{\text{d}x}=\frac{\frac{\text{d}y}{\text{d}t}}{\frac{\text{d}x}{\text{d}t}}.$$

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三、相关变化率

\quad 设 $x=x(t)$ 及 $y=y(t)$ 都是可导函数，而变量 $x$ 与 变量 $y$ 间存在某种关系，从而变化率 $\frac{\text{d}x}{\text{d}t}$ 与 $\frac{\text{d}y}{\text{d}t}$ 间也存在一定关系. 这两个相互依赖的变化率称为相关变化率.

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习题 2-4