高等数学：第三章 微分中值定理与导数的应用（4）函数的单调性

§3.4  函数的单调性

在上小于零，在上大于零。

函数的单调性是否与导函数的符号有关呢?为此，我们进一步地作图，希望从中获得更多的感性认识。

函数在上单调增加(减少)，则它的图形是一条沿轴正向上升(下降)的曲线， 曲线上各点处的切线之斜率均为正的(负的)，即：

  ()

这表明：函数的单调性确实与其导数的符号有关，因此，可以利用导数的符号来判定函数的单调性。

二、函数单调性的判别法

设函数在上连续， 在上可导，，则

若在内，则，从而 ；

即：   函数在上单调增加；

若在内，则，从而 ，

即：   函数在上单调减少。

综上讨论， 我们有如下结论：

【函数单调性判别法】

设函数在上连续， 在上可导，

(1)、若在内， 则在上单调增加；

(2)、若在内， 则在上单调减少。

注明：

1、判别法中的闭区间若换成其它各种区间（包括无穷区间），结论仍成立。

2、以后把函数单调的区间称之为函数的单调区间。

【例1】讨论函数的单调性。

 解：函数的定义域为， 且

当时， ， 故函数在上单调减少；

当时， ， 故函数在上单调增加。

【例2】讨论函数的单调性。

解： 函数的定义域为，

当时， ， ，  故函数在上单减；

当时，   ，  ，  故函数在上单增。

因此，可以通过求函数的一阶导数其符号不确定的点，将函数的定义域分划成若干个部分区间，再判定函数一阶导数在这些部分区间上的符号，继而可决定函数在这些部分区间上的单调性。

【例3】试确定函数  的单调区间。

解： 当时，函数无定义， 故函数在处不可导；

当时， 导函数为

令 得：

于是， 点将函数定义域(  )分划成四个区间 、、、，函数在这四个区间上的单调性如下：

在上， ，   函数单增；

在   上， ，  函数单减；

在     上， ，  函数单减；

在  上，  ，  函数单增。

【例4】讨论函数的单调性。

【结论】

一般地，如果在某区间上的有限个点处为零， 而在其余各点处均为正(或负)时，那么在该区间上仍是单调增加(或单调减少)的。

利用函数的单调性可以证明较为复杂的函数不等式。

【例5】试证明：当时， 有

解：作辅助函数 ，

，

，

当时，   ，  ，

故  ，

在上单调增加，从而有 ，

而 ，

于是 ，在上也单调增加。

从而有 ，

即     。

该证明方法十分典型，对于一些较精细的函数不等式的证明可借助些法。