第一章 函数与极限 第八节 函数的连续性与间断点

第八节 函数的连续性与间断点

一、函数的连续性

定义 \quad 设函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 的某一邻域内有定义，如果$$\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\Delta y=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }[f(x_0+\Delta x)-f(x_0)]=0,$$那么就称函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 连续.

也可 \quad 设函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 的某一邻域内有定义，如果$$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=f(x_0),$$那么就称函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 连续.

也可$\forall \epsilon >0,\exists \delta >0$, 当 $|x-x_0|<\delta$ 时，有 $|f(x)-f(x_0)|<\epsilon .$

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左连续：
如果 $\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }f(x)=f(x_0^{-})$ 存在且等于 $f(x_0)$, 即 $f(x_0^{-})=f(x_0),$ 就说 $f(x)$ 在点 $x_0$ 左连续.

右连续：
如果 $\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }f(x)=f(x_0^{+})$ 存在且等于 $f(x_0)$, 即 $f(x_0^{+})=f(x_0),$ 就说 $f(x)$ 在点 $x_0$ 右连续.

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二、函数的间断点

设函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 的某去心邻域内有定义. 有以下情况之一的，称点 $x_0$ 为函数 $f(x)$ 的不连续点或间断点.
\quad (1) 在 $x=x_0$ 没有定义；
\quad (2) 虽在 $x=x_0$ 有定义，但 $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)$ 不存在；
\quad (3) 虽在 $x=x_0$ 有定义，且 $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)$ 存在，但 $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)\ne f(x_0)$ ；

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无穷间断点
$$\underset{x\to \frac{\pi }{2}}{\lim }\tan x=\infty$$

振荡间断点
$$y=\sin \frac{1}{x}$$

可去间断点
$$y=\frac{x^2-1}{x-1}$$

跳跃间断点
$$\begin{array}{c}f(x)=\{\begin{array}{r}x-1,x<0,\\ 0,x=0,\\ x+1,x>0.\end{array}\end{array}$$

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第一类间断点：$x_0$ 是函数 $f(x)$ 的间断点，但左极限 $f(x_0^{-})$ 及右极限 $f(x_0^{+})$ 都存在，如可去间断点、跳跃间断点.

第二类间断点：非第一类间断点，如无穷间断点、振荡间断点.

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习题 1-8